6 replies to this topic

[I Love MT]

Cho $a,b,c >0$ thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$ \sum_{cyc} \sqrt{ \dfrac{a}{3b^{2}+1}} \geq \dfrac{3}{2}$$
Trịnh Đình Triển (Dinh De Tai) nhờ mình post bài này.

Edited by I Love MT, 30-07-2017 - 17:44.

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a,b,c >0$ thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$ \sum_{cyc} \sqrt{ \dfrac{a}{3b^{2}+1}} \geq \dfrac{3}{2}$$
Trịnh Đình Triển (Dinh De Tai) nhờ mình post bài này.

 

Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có

\[\left(\sum \sqrt{ \dfrac{a}{3b^{2}+1}}\right)^2 \sum a^2(3b^2+1)(a+b+3c)^3 \geqslant \left[\sum a(a+b+3c)\right]^3.\]

Như vậy ta cần chứng minh

\[\left[\sum a(a+b+3c)\right]^3 \geqslant \frac94\sum a^2(3b^2+1)(a+b+3c)^3,\]

hay là

\[\frac13\left[\sum a(a+b+3c)\right]^3(a+b+c) \geqslant \frac94\sum a^2\left[3b^2+\frac19(a+b+c)^2\right] (a+b+3c)^3,\]

\[\begin{aligned}\sum \frac{1}{132}a\left[11a^6+11(37b+19c)a^5+2(127b^2+2178bc+165c^2)a^4+308c^3a^3+440c^4a^2+7c^4(735b+58c)a\\+b^2c^2(2709b^2+7898bc+7788c^2)-30261ab^2c^3\right]  \geqslant  0.\end{aligned}\]

Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bất đẳng thức AM-GM suy rộng.

[AnhTran2911]

Không có cách khác à

[tuaneee111]

Anh Huyện siêu thật

[thuthienhan]

anh dùng phần mềm gì phân tích cái cuối thế ạ, cho em xin link tải với :3

[Mr Cooper]

anh dùng phần mềm gì phân tích cái cuối thế ạ, cho em xin link tải với :3

Phần mềm Mapple 

[Nguyenhuyen_AG]

anh dùng phần mềm gì phân tích cái cuối thế ạ, cho em xin link tải với :3

 

Anh dùng Maple để tách hệ số, nhưng phải có code riêng do anh viết mới phân tích được như thế chứ maple thuần túy không làm được.