Chủ đề này có 1 trả lời

[TranHungDao]

.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TranHungDao: 01-08-2017 - 18:52

[duylax2412]

Bài toán này không khó nếu như ta được học về phương pháp "Bước nhảy Viette"

Đặt: $k=\frac{a^2+b^2+3}{ab}$ ($k \in Z^{+})$$(*)$

Xét tập các cặp số nguyên dương thỏa điều kiện trên và gọi tập này là $S$,chọn ra cặp số $(a_o,b_o)$ $\in S$sao cho $a_o+b_o$ nhỏ nhất và không mất tính tổng quát,ta giả sử $b_o \leq a_o$

Lúc này ta có: $a_o^2-ka_ob_o+(b_o^2+3)=0$

Do đây là phương trình bậc $2$ (theo ẩn $a_o$) nên theo định lý $Viette$ phương trình này còn có nghiệm $a_1$ thỏa:

$a_o+a_1=bk$ và $a_o.a_1=b_o^2+3$$(**)$

Dễ thấy $a_1 \in Z^{+}$ vì vậy $(a_1,b_o) \in S$

Theo định nghĩa của cặp $(a_o,b_o)$ ta suy ra $a_o \leq a_1$

Nếu $a_o>3$ thì từ $(**)$ suy ra : $a_1 <\frac{b_o^2+3}{a_o} \leq \frac{a_o^2+3}{a_o}=a_o+\frac{3}{a_o}<a_o+1$ (do $b_o \leq a_o$)

Nên $a_o=a_1$ suy ra $a_o^2=b_o^2+3$ giải ra ta có $a_o=2$ (Vô lý vì $a_o \geq 3$)

Vậy $a_o \leq 3$.Chú ý do giả sử $b_o \leq a_o$ nên xét các trường hợp ta tìm được $(a_o,b_o)=(1;1);(2;1)$

Từ đó tính được $k=4$ hay $k=5$