Chủ đề này có 3 trả lời

[Aki1512]

Mọi người giúp em với ^^

[chanhquocnghiem]

Mọi người giúp em với ^^

2017-08-03_183152.png

Cách 1 (không dùng đạo hàm) :

$y=\sin^6x+\cos^6x+\sin x\cos x=(\sin^2x+\cos^2x)^3-3\sin^4x\cos^2x-3\sin^2x\cos^4x+\sin x\cos x$

$=1-3\sin^2x\cos^2x+\sin x\cos x=1-\frac{3}{4}\sin^22x+\frac{1}{2}\sin2x=1-\frac{3}{4}\left ( \sin^22x-\frac{2}{3}\sin2x+\frac{1}{9} \right )+\frac{3}{4}.\frac{1}{9}=\frac{13}{12}-\frac{3}{4}\left | \sin2x-\frac{1}{3} \right |^2$

Ta có :

$-1\leqslant \sin2x\leqslant 1$

$\Rightarrow 0\leqslant \left | \sin2x-\frac{1}{3} \right |\leqslant \frac{4}{3}$

$\Rightarrow 0\leqslant \left | \sin2x-\frac{1}{3} \right |^2\leqslant \frac{16}{9}$

$\Rightarrow 0\geqslant -\frac{3}{4}\left | \sin2x-\frac{1}{3} \right |^2\geqslant -\frac{4}{3}$

$\Rightarrow \frac{13}{12}\geqslant y\geqslant \frac{13}{12}-\frac{4}{3}=-\frac{1}{4}\Rightarrow M=\frac{13}{12}$ ; $m=-\frac{1}{4}\Rightarrow M-m=\frac{4}{3}$

 

Cách 2 (dùng đạo hàm) :

$y=\sin^6x+\cos^6x+\sin x\cos x=(\sin^2x+\cos^2x)^3-3\sin^4x\cos^2x-3\sin^2x\cos^4x+\sin x\cos x$

$=1-3\sin^2x\cos^2x+\sin x\cos x=1-\frac{3}{4}\sin^22x+\frac{1}{2}\sin2x$

$y'=\left ( -\frac{3}{4} \right ).2.2\sin2x\cos2x+\left ( \frac{1}{2} \right ).2\cos2x=-3\sin2x\cos2x+\cos2x=\cos2x(1-3\sin2x)$

$y'=0\Leftrightarrow \cos2x=0$ hoặc $\sin2x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \sin2x=\pm 1$ hoặc $\sin2x=\frac{1}{3}$

+ $\sin2x=1\Rightarrow y=1-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$ (1)

+ $\sin2x=-1\Rightarrow y=1-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$ (2)

+ $\sin2x=\frac{1}{3}\Rightarrow y=1-\frac{3}{4}.\frac{1}{9}+\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{13}{12}$ (3)

(1),(2),(3) $\Rightarrow M-m=\frac{13}{12}-\left ( -\frac{1}{4} \right )=\frac{4}{3}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 04-08-2017 - 10:38

[Aki1512]

Cách 1 (không dùng đạo hàm) :

$y=\sin^6x+\cos^6x+\sin x\cos x=(\sin^2x+\cos^2x)^3-3\sin^4x\cos^2x-3\sin^2x\cos^4x+\sin x\cos x$

$=1-3\sin^2x\cos^2x+\sin x\cos x=1-\frac{3}{4}\sin^22x+\frac{1}{2}\sin2x=1-\frac{3}{4}\left ( \sin^22x-\frac{2}{3}\sin2x+\frac{1}{9} \right )+\frac{3}{4}.\frac{1}{9}=\frac{13}{12}-\frac{3}{4}\left | \sin2x-\frac{1}{3} \right |^2$

Ta có :

$-1\leqslant \sin2x\leqslant 1$

$\Rightarrow 0\leqslant \left | \sin2x-\frac{1}{3} \right |\leqslant \frac{4}{3}$

$\Rightarrow 0\leqslant \left | \sin2x-\frac{1}{3} \right |^2\leqslant \frac{16}{9}$

$\Rightarrow 0\geqslant -\frac{3}{4}\left | \sin2x-\frac{1}{3} \right |^2\geqslant -\frac{4}{3}$

$\Rightarrow \frac{13}{12}\geqslant y\geqslant \frac{13}{12}-\frac{4}{3}=-\frac{1}{4}\Rightarrow M=\frac{13}{12}$ ; $m=-\frac{1}{4}\Rightarrow M-m=\frac{4}{3}$

 

Cách 2 (dùng đạo hàm) :

$y=\sin^6x+\cos^6x+\sin x\cos x=(\sin^2x+\cos^2x)^3-3\sin^4x\cos^2x-3\sin^2x\cos^4x+\sin x\cos x$

$=1-3\sin^2x\cos^2x+\sin x\cos x=1-\frac{3}{4}\sin^22x+\frac{1}{2}\sin2x$

$y'=\left ( -\frac{3}{4} \right ).2.2\sin2x\cos2x+\left ( \frac{1}{2} \right ).2\cos2x=-3\sin2x\cos2x+\cos2x=\cos2x(1-3\sin2x)$

$y'=0\Leftrightarrow \cos2x=0$ hoặc $\sin2x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \sin2x=\pm 1$ hoặc $\sin2x=\frac{1}{3}$

+ $\sin2x=1\Rightarrow y=1-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$ (1)

+ $\sin2x=-1\Rightarrow y=1-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$ (2)

+ $\sin2x=\frac{1}{3}\Rightarrow y=1-\frac{3}{4}.\frac{1}{9}+\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{13}{12}$ (3)

(1),(2),(3) $\Rightarrow M-m=\frac{13}{12}-\left ( -\frac{1}{4} \right )=\frac{4}{3}$.

Có mấy chỗ ở cách 1 mình ko hiểu ...

Đoạn thứ 1 tại sao là trị tuyệt đối bình phương vậy ạ? Mình chưa bao giờ thấy khái niệm nào liên quan đến trị tuyệt đối bình phương @@

Với lại biến đổi sao mà hay vậy ạ? Nãy giờ thử biến đối mà mình làm hoài ko ra luôn @@

 

Đoạn thứ 2 ... đoạn so sánh đấy là điều hiển nhiên ạ??

[chanhquocnghiem]

Có mấy chỗ ở cách 1 mình ko hiểu ...

Đoạn thứ 1 tại sao là trị tuyệt đối bình phương vậy ạ? Mình chưa bao giờ thấy khái niệm nào liên quan đến trị tuyệt đối bình phương @@

Với lại biến đổi sao mà hay vậy ạ? Nãy giờ thử biến đối mà mình làm hoài ko ra luôn @@

 

Đoạn thứ 2 ... đoạn so sánh đấy là điều hiển nhiên ạ??

1) $1-\frac{3}{4}\sin^22x+\frac{1}{2}\sin2x=1-\frac{3}{4}\left ( \sin^22x-\frac{2}{3}\sin2x \right )$

    Đến đây ta thêm $\frac{1}{9}$ vào biểu thức trong ngoặc để có dạng bình phương 1 hiệu, bởi vì $\sin^22x-\frac{2}{3}\sin2x+\frac{1}{9}=\left ( \sin2x-\frac{1}{3} \right )^2$ (Nhưng thêm vào thì phải bớt ra. Mà phải bớt ra $\frac{1}{9}.\left ( -\frac{3}{4} \right )$ cũng có nghĩa là cộng vào $\frac{3}{4}.\frac{1}{9}$)

    Vậy là $y=1-\frac{3}{4}\left ( \sin2x-\frac{1}{3} \right )^2+\frac{1}{12}=\frac{13}{12}-\frac{3}{4}\left ( \sin2x-\frac{1}{3} \right )^2$

    Chú ý rằng $\left ( \sin2x-\frac{1}{3} \right )^2=\left ( \frac{1}{3}-\sin2x \right )^2=\left | \sin2x-\frac{1}{3} \right |^2$ (Ba cái này bằng nhau, nhưng mình chọn cái thứ ba để dễ so sánh lớn hơn hoặc bằng bao nhiêu, nhỏ hơn hoặc bằng bao nhiêu)

 

2) $-1\leqslant \sin2x\leqslant 1$ (cái này là hiển nhiên)

    Tổng quát là $-1\leqslant \sin(...)\leqslant 1$ và $-1\leqslant \cos(...)\leqslant 1$ (sin và cos của "bất cứ cái gì" cũng thuộc $[-1;1]$)

    Mấy cái này là kiến thức rất cơ bản đã được học từ khi mới bắt đầu làm quen với $\sin$ và $\cos$. Em phải chịu khó xem lại kiến thức các lớp dưới nhé !