Mọi người giúp em với ^^
Tính GTLN và GTNN của hàm lượng giác
#1
Đã gửi 03-08-2017 - 18:33
Tôi sẽ hỏi khi thực sự ko hiểu. Vì trình độ của tôi ở đó... tôi ko muốn giấu dốt bởi muốn tiến lên tôi phải sửa hết lỗ hỗng bằng việc học hỏi nhiều hơn.
#2
Đã gửi 04-08-2017 - 10:35
Mọi người giúp em với ^^
Cách 1 (không dùng đạo hàm) :
$y=\sin^6x+\cos^6x+\sin x\cos x=(\sin^2x+\cos^2x)^3-3\sin^4x\cos^2x-3\sin^2x\cos^4x+\sin x\cos x$
$=1-3\sin^2x\cos^2x+\sin x\cos x=1-\frac{3}{4}\sin^22x+\frac{1}{2}\sin2x=1-\frac{3}{4}\left ( \sin^22x-\frac{2}{3}\sin2x+\frac{1}{9} \right )+\frac{3}{4}.\frac{1}{9}=\frac{13}{12}-\frac{3}{4}\left | \sin2x-\frac{1}{3} \right |^2$
Ta có :
$-1\leqslant \sin2x\leqslant 1$
$\Rightarrow 0\leqslant \left | \sin2x-\frac{1}{3} \right |\leqslant \frac{4}{3}$
$\Rightarrow 0\leqslant \left | \sin2x-\frac{1}{3} \right |^2\leqslant \frac{16}{9}$
$\Rightarrow 0\geqslant -\frac{3}{4}\left | \sin2x-\frac{1}{3} \right |^2\geqslant -\frac{4}{3}$
$\Rightarrow \frac{13}{12}\geqslant y\geqslant \frac{13}{12}-\frac{4}{3}=-\frac{1}{4}\Rightarrow M=\frac{13}{12}$ ; $m=-\frac{1}{4}\Rightarrow M-m=\frac{4}{3}$
Cách 2 (dùng đạo hàm) :
$y=\sin^6x+\cos^6x+\sin x\cos x=(\sin^2x+\cos^2x)^3-3\sin^4x\cos^2x-3\sin^2x\cos^4x+\sin x\cos x$
$=1-3\sin^2x\cos^2x+\sin x\cos x=1-\frac{3}{4}\sin^22x+\frac{1}{2}\sin2x$
$y'=\left ( -\frac{3}{4} \right ).2.2\sin2x\cos2x+\left ( \frac{1}{2} \right ).2\cos2x=-3\sin2x\cos2x+\cos2x=\cos2x(1-3\sin2x)$
$y'=0\Leftrightarrow \cos2x=0$ hoặc $\sin2x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \sin2x=\pm 1$ hoặc $\sin2x=\frac{1}{3}$
+ $\sin2x=1\Rightarrow y=1-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$ (1)
+ $\sin2x=-1\Rightarrow y=1-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$ (2)
+ $\sin2x=\frac{1}{3}\Rightarrow y=1-\frac{3}{4}.\frac{1}{9}+\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{13}{12}$ (3)
(1),(2),(3) $\Rightarrow M-m=\frac{13}{12}-\left ( -\frac{1}{4} \right )=\frac{4}{3}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 04-08-2017 - 10:38
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 04-08-2017 - 14:51
Cách 1 (không dùng đạo hàm) :
$y=\sin^6x+\cos^6x+\sin x\cos x=(\sin^2x+\cos^2x)^3-3\sin^4x\cos^2x-3\sin^2x\cos^4x+\sin x\cos x$
$=1-3\sin^2x\cos^2x+\sin x\cos x=1-\frac{3}{4}\sin^22x+\frac{1}{2}\sin2x=1-\frac{3}{4}\left ( \sin^22x-\frac{2}{3}\sin2x+\frac{1}{9} \right )+\frac{3}{4}.\frac{1}{9}=\frac{13}{12}-\frac{3}{4}\left | \sin2x-\frac{1}{3} \right |^2$
Ta có :
$-1\leqslant \sin2x\leqslant 1$
$\Rightarrow 0\leqslant \left | \sin2x-\frac{1}{3} \right |\leqslant \frac{4}{3}$
$\Rightarrow 0\leqslant \left | \sin2x-\frac{1}{3} \right |^2\leqslant \frac{16}{9}$
$\Rightarrow 0\geqslant -\frac{3}{4}\left | \sin2x-\frac{1}{3} \right |^2\geqslant -\frac{4}{3}$
$\Rightarrow \frac{13}{12}\geqslant y\geqslant \frac{13}{12}-\frac{4}{3}=-\frac{1}{4}\Rightarrow M=\frac{13}{12}$ ; $m=-\frac{1}{4}\Rightarrow M-m=\frac{4}{3}$
Cách 2 (dùng đạo hàm) :
$y=\sin^6x+\cos^6x+\sin x\cos x=(\sin^2x+\cos^2x)^3-3\sin^4x\cos^2x-3\sin^2x\cos^4x+\sin x\cos x$
$=1-3\sin^2x\cos^2x+\sin x\cos x=1-\frac{3}{4}\sin^22x+\frac{1}{2}\sin2x$
$y'=\left ( -\frac{3}{4} \right ).2.2\sin2x\cos2x+\left ( \frac{1}{2} \right ).2\cos2x=-3\sin2x\cos2x+\cos2x=\cos2x(1-3\sin2x)$
$y'=0\Leftrightarrow \cos2x=0$ hoặc $\sin2x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \sin2x=\pm 1$ hoặc $\sin2x=\frac{1}{3}$
+ $\sin2x=1\Rightarrow y=1-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$ (1)
+ $\sin2x=-1\Rightarrow y=1-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$ (2)
+ $\sin2x=\frac{1}{3}\Rightarrow y=1-\frac{3}{4}.\frac{1}{9}+\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{13}{12}$ (3)
(1),(2),(3) $\Rightarrow M-m=\frac{13}{12}-\left ( -\frac{1}{4} \right )=\frac{4}{3}$.
Có mấy chỗ ở cách 1 mình ko hiểu ...
Đoạn thứ 1 tại sao là trị tuyệt đối bình phương vậy ạ? Mình chưa bao giờ thấy khái niệm nào liên quan đến trị tuyệt đối bình phương @@
Với lại biến đổi sao mà hay vậy ạ? Nãy giờ thử biến đối mà mình làm hoài ko ra luôn @@
Đoạn thứ 2 ... đoạn so sánh đấy là điều hiển nhiên ạ??
Tôi sẽ hỏi khi thực sự ko hiểu. Vì trình độ của tôi ở đó... tôi ko muốn giấu dốt bởi muốn tiến lên tôi phải sửa hết lỗ hỗng bằng việc học hỏi nhiều hơn.
#4
Đã gửi 04-08-2017 - 16:16
Có mấy chỗ ở cách 1 mình ko hiểu ...
Đoạn thứ 1 tại sao là trị tuyệt đối bình phương vậy ạ? Mình chưa bao giờ thấy khái niệm nào liên quan đến trị tuyệt đối bình phương @@
Với lại biến đổi sao mà hay vậy ạ? Nãy giờ thử biến đối mà mình làm hoài ko ra luôn @@
Đoạn thứ 2 ... đoạn so sánh đấy là điều hiển nhiên ạ??
1) $1-\frac{3}{4}\sin^22x+\frac{1}{2}\sin2x=1-\frac{3}{4}\left ( \sin^22x-\frac{2}{3}\sin2x \right )$
Đến đây ta thêm $\frac{1}{9}$ vào biểu thức trong ngoặc để có dạng bình phương 1 hiệu, bởi vì $\sin^22x-\frac{2}{3}\sin2x+\frac{1}{9}=\left ( \sin2x-\frac{1}{3} \right )^2$ (Nhưng thêm vào thì phải bớt ra. Mà phải bớt ra $\frac{1}{9}.\left ( -\frac{3}{4} \right )$ cũng có nghĩa là cộng vào $\frac{3}{4}.\frac{1}{9}$)
Vậy là $y=1-\frac{3}{4}\left ( \sin2x-\frac{1}{3} \right )^2+\frac{1}{12}=\frac{13}{12}-\frac{3}{4}\left ( \sin2x-\frac{1}{3} \right )^2$
Chú ý rằng $\left ( \sin2x-\frac{1}{3} \right )^2=\left ( \frac{1}{3}-\sin2x \right )^2=\left | \sin2x-\frac{1}{3} \right |^2$ (Ba cái này bằng nhau, nhưng mình chọn cái thứ ba để dễ so sánh lớn hơn hoặc bằng bao nhiêu, nhỏ hơn hoặc bằng bao nhiêu)
2) $-1\leqslant \sin2x\leqslant 1$ (cái này là hiển nhiên)
Tổng quát là $-1\leqslant \sin(...)\leqslant 1$ và $-1\leqslant \cos(...)\leqslant 1$ (sin và cos của "bất cứ cái gì" cũng thuộc $[-1;1]$)
Mấy cái này là kiến thức rất cơ bản đã được học từ khi mới bắt đầu làm quen với $\sin$ và $\cos$. Em phải chịu khó xem lại kiến thức các lớp dưới nhé !
- Aki1512 yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh