Tìm hàm số $f(x)$ biết: $f(x+y) = f(x)+f(y)+2xy.$
@halloffame: bạn thêm giúp mình dữ kiện về tập gốc và tập đích của hàm $f$ nhé.
Edited by halloffame, 06-08-2017 - 11:41.
Tìm hàm số $f(x)$ biết: $f(x+y) = f(x)+f(y)+2xy.$
@halloffame: bạn thêm giúp mình dữ kiện về tập gốc và tập đích của hàm $f$ nhé.
Edited by halloffame, 06-08-2017 - 11:41.
"Đừng thấy cái bóng to của mình trên vách tường mà tưởng mình vĩ đại."
* Pythagoras*
Một lần ngã là một lần bớt dại
Ai nên khôn mà chả dại đôi lần
Đặt $
{f}\left({x}\right)\mathrm{{=}}{g}\left({x}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}{x}^{2}
$
Thay vào phương trình trên, ta được:
$
{g}\left({{x}\mathrm{{+}}{y}}\right)\mathrm{{=}}{g}\left({x}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{g}\left({y}\right)
$
Đây là phương trình hàm Cauchy nên ta có được $
{g}\left({x}\right)\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}{ax}
$
Suy ra $
\left({x}\right)\mathrm{{=}}{ax}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{x}^{2}
$
Mình nghĩ chỗ này bạn suy ra hơi vội, lỡ đâu $g(x) \equiv 0$ thì sao, vả lại chưa có dữ kiện rõ ràng về tập nguồn và đích, nếu điều kiện là $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ và không cho gì thêm thì phải cẩn thận
Mình nghĩ chỗ này bạn suy ra hơi vội, lỡ đâu $g(x) \equiv 0$ thì sao, vả lại chưa có dữ kiện rõ ràng về tập nguồn và đích, nếu điều kiện là $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ và không cho gì thêm thì phải cẩn thận
"Đừng thấy cái bóng to của mình trên vách tường mà tưởng mình vĩ đại."
* Pythagoras*
Một lần ngã là một lần bớt dại
Ai nên khôn mà chả dại đôi lần
Tìm hàm số $f(x)$ biết: $f(x+y) = f(x)+f(y)+2xy.$
@halloffame: bạn thêm giúp mình dữ kiện về tập gốc và tập đích của hàm $f$ nhé.
Mình đã từng thấy lời giải bài này trong điều kiện $f$ khả vi.
Khi đó cho $x=y=0$ thì $f(0)=0$.
Với $y \rightarrow 0$ lại có $\dfrac{f(x+y)-f(x)}{y} = \dfrac{f(y)-f(0)}{y-0}+2x$
Hay $ f'(x)=2x+f'(0)$
Vậy $f(x)=x^2+ax +b$. Thử lại ta thấy $b=0$.
0 members, 1 guests, 0 anonymous users