Cho a , b , c đôi một khác nhau thỏa a + b + c = 0 . Cmr
$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}} + \sum \frac{a}{b}\geqslant \frac{15}{4}$
Cho a , b , c đôi một khác nhau thỏa a + b + c = 0 . Cmr
$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}} + \sum \frac{a}{b}\geqslant \frac{15}{4}$
Cho a , b , c đôi một khác nhau thỏa a + b + c = 0 . Cmr
$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}} + \sum \frac{a}{b}\geqslant \frac{15}{4}$
Sao lại cần điều kiện đôi một khác nhau nhỉ?
Thay $c = -a-b$ bất đẳng thức trên trở thành
\[\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{(a+b)^2} + \frac{(a+b)^2}{a^2} + \frac{a}{b} - \frac{b}{a+b} - \frac{a+b}{a} \geqslant \frac{15}{4}.\]
Đặt $a=kb$ bất đẳng thức trên tương đương với
\[k^2 + \frac{1}{(k+1)^2} + \frac{(k+1)^2}{k^2} + k - \frac{1}{k+1} - \frac{k+1}{k} \geqslant \frac{15}{4},\]
hoặc
\[\frac{(k-1)^2(2k+1)^2(k+2)^2}{4k^2(k+1)^2} \geqslant 0.\]
Hiển nhiên đúng.
Sao lại cần điều kiện đôi một khác nhau nhỉ?
Thay $c = -a-b$ bất đẳng thức trên trở thành
\[\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{(a+b)^2} + \frac{(a+b)^2}{a^2} + \frac{a}{b} - \frac{b}{a+b} - \frac{a+b}{a} \geqslant \frac{15}{4}.\]
Đặt $a=kb$ bất đẳng thức trên tương đương với
\[k^2 + \frac{1}{(k+1)^2} + \frac{(k+1)^2}{k^2} + k - \frac{1}{k+1} - \frac{k+1}{k} \geqslant \frac{15}{4},\]
hoặc
\[\frac{(k-1)^2(2k+1)^2(k+2)^2}{4k^2(k+1)^2} \geqslant 0.\]
Hiển nhiên đúng.
Không có cách " đẹp " hơn à ?
Không có cách " đẹp " hơn à ?
Có 7 cách.
Có 7 cách.
Làm vài cách khác đi anh
Làm vài cách khác đi anh
Trong ba số $a,\,b,\,c$ sẽ có hai số cùng dấu, giả sử đó là $a,\,b.$ Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\[\frac{b(b+c)}{c^2} + \frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2} + \frac{a}{b} + \frac{c}{a} \geqslant \frac{15}{4},\]
hay là
\[-\frac{ab}{(a+b)^2} + \frac{a^2}{b^2}+\frac{(a+b)^2}{a^2} + \frac{a}{b} - \frac{a+b}{a} \geqslant \frac{15}{4},\]
hoặc
\[-\frac{ab}{(a+b)^2} + \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2} + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant \frac{15}{4},\]
\[\left[\frac{1}{4}-\frac{ab}{(a+b)^2}\right]+ \left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-2\right) + \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}-2\right) \geqslant 0.\]
Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức AM-GM.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh