Về phía ngoài tam giác ABC, ta dựng các tam giác đồng dạng XBC,YCA,ZAB.Chứng minh rằng các tam giác ABC,XYZ có cùng trọng tâm
1010
#1
Đã gửi 13-08-2017 - 21:30
#2
Đã gửi 14-08-2017 - 10:16
#3
Đã gửi 14-08-2017 - 14:36
Xin đăng lời giải chỉ dùng hình học lớp 8.
Goi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $BC, XY$, $D$ là điểm để $CXBD$ là hình bình hành, $G$ là giao điểm $ZE$ và $AF$.
Dễ thấy $F$ là trung điểm $XD$ nên $EF\parallel DY$
Do $\widehat{XBC}=\widehat{YCA}$ nên ta có $\widehat{DCY}= \widehat{ACB} \quad \color{Red}{(1)}$
$CXBD$ là hình bình hành nên $BX=CD$
Mặt khác $\frac{BC}{BX}=\frac{CA}{CY} \Rightarrow\frac{BC}{CD}=\frac{CA}{CY} \quad \color{Red}{(2)}$
$\color{Red}{(1),(2)} \Rightarrow \bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup YDC \\ \Rightarrow \widehat{YDC}=\widehat{ABC}$
Chứng minh tương tự ta được $\widehat{ZDB}=\widehat{ACB}$ và $\widehat{BZD}=\widehat{BYC} \ \ (=\widehat{BAC})$
$\Rightarrow \widehat{AZD}=\widehat{AYD}$
Ta có $\widehat{ZDY} = 360^{\circ}-\widehat{ZDB}-\widehat{YDC}-\widehat{BDC}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(180^{\circ}-\widehat{ABC}-\widehat{ACB})+(180^{\circ}-\widehat{BXC}) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\widehat{BAC} +\widehat{CBX} + \widehat{BCX} = \widehat{ZAY}$
Như vậy $AZDY$ cũng là hình bình hành, tức $DY\parallel AZ\parallel EF$ và $AZ=DY=2EF$
$\Rightarrow \frac{AZ}{EF}=\frac{ZG}{GE}=\frac{AG}{GF}=2$
Suy ra $G$ là trọng tâm $\bigtriangleup ABC$ và $\bigtriangleup XYZ$
- NHoang1608 và trieutuyennham thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh