Chủ đề này có 2 trả lời

[vtane]

Về phía ngoài tam giác ABC, ta dựng các tam giác đồng dạng XBC,YCA,ZAB.Chứng minh rằng các tam giác ABC,XYZ có cùng trọng tâm

[kytrieu]

Tại đây:https://diendantoanh...abcxyz-có-cùng/

[Hai2003]

Xin đăng lời giải chỉ dùng hình học lớp 8.

Goi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $BC, XY$, $D$ là điểm để $CXBD$ là hình bình hành, $G$ là giao điểm $ZE$ và $AF$.

Dễ thấy $F$ là trung điểm $XD$ nên $EF\parallel DY$

 

Do $\widehat{XBC}=\widehat{YCA}$ nên ta có $\widehat{DCY}= \widehat{ACB} \quad  \color{Red}{(1)}$

$CXBD$ là hình bình hành nên $BX=CD$

Mặt khác $\frac{BC}{BX}=\frac{CA}{CY} \Rightarrow\frac{BC}{CD}=\frac{CA}{CY} \quad  \color{Red}{(2)}$

$\color{Red}{(1),(2)} \Rightarrow \bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup YDC \\ \Rightarrow \widehat{YDC}=\widehat{ABC}$

 

Chứng minh tương tự ta được $\widehat{ZDB}=\widehat{ACB}$ và $\widehat{BZD}=\widehat{BYC} \ \ (=\widehat{BAC})$

$\Rightarrow \widehat{AZD}=\widehat{AYD}$

Ta có $\widehat{ZDY} = 360^{\circ}-\widehat{ZDB}-\widehat{YDC}-\widehat{BDC}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(180^{\circ}-\widehat{ABC}-\widehat{ACB})+(180^{\circ}-\widehat{BXC}) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\widehat{BAC} +\widehat{CBX} + \widehat{BCX} = \widehat{ZAY}$

 

Như vậy $AZDY$ cũng là hình bình hành, tức $DY\parallel AZ\parallel EF$ và $AZ=DY=2EF$

$\Rightarrow \frac{AZ}{EF}=\frac{ZG}{GE}=\frac{AG}{GF}=2$

Suy ra $G$ là trọng tâm $\bigtriangleup ABC$ và $\bigtriangleup XYZ$