Chủ đề này có 4 trả lời

[BiBi Chi]

1,cho x,y,z>0 và x+y+z=$2\sqrt{2}$

tìm GTLN P= $\sqrt[3]{x+2y}+\sqrt[3]{y+2z}+\sqrt[3]{z+2x}$

2, cho x,y,z>0 và x+y+z$\leq 1$

CMR $\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{82}$

[Zz Isaac Newton Zz]

Bài 2 dùng bất đẳng thức $Minkowski$ và bất đẳng thức $Cauchy$ là xong.

[MoMo123]

1,cho x,y,z>0 và x+y+z=$2\sqrt{2}$

tìm GTLN P= $\sqrt[3]{x+2y}+\sqrt[3]{y+2z}+\sqrt[3]{z+2x}$

2, cho x,y,z>0 và x+y+z$\leq 1$

CMR $\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{82}$

Mình có cách này không biết có được không ,

Ta có BĐT phụ

$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{3}$

CM
Áp dụng bđt Bunhiacopxki, ta có 

$(a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq \frac{\sum a}{9}^{4}$

$\frac{(a+b+c)^{3}}{9}\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}$

Hay là bđt đầu bài

$\rightarrow a+b+c\leq \sqrt[3]{9(a^{3}+b^{3}+c^{3})}$

->$P\leq \sqrt[3]{9(x+2y+y+2z+z+2x)}=3\sqrt[3]{2\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$

[slenderman123]

Sử dụng BĐT: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$ (dấu "=" xảy ra khi $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$)

Có thể CM BĐT trên bằng biến đổi tương đương: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}\Leftrightarrow \sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq ac+bd\Rightarrow (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq (ac+bd)^{2}\Leftrightarrow a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}\geq 2abcd$ (đúng theo $AM-GM$)

Suy ra: $\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{(x+y)^{2}+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^{2}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+(\frac{9}{x+y+z})^{2}}=\sqrt{1+81}= \sqrt{82}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

P/S:BĐT phụ trên áp dụng rất nhiều, bạn hãy ghi nhớ nhé ^^ nếu hay thì like ủng hộ mình .

[hanguyen445]

1,cho x,y,z>0 và x+y+z=$2\sqrt{2}$

tìm GTLN P= $\sqrt[3]{x+2y}+\sqrt[3]{y+2z}+\sqrt[3]{z+2x}$

2, cho x,y,z>0 và x+y+z$\leq 1$

CMR $\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{82}$

BĐT 18

Hình gửi kèm

•