Chủ đề này có 1 trả lời

[Phillippa08]

Cho số nguyên dương n, gọi d là ước dương của 3n^2. CMR n^2 + d là số chính phương khi và chỉ khi d = 3n^2

[slenderman123]

Đặt $C=n^{2}+d=m^{2}$

Giả sử $n^{2} \vdots d$

TH1: $d \leq n$ thì $n^{2}< C=n^{2}+d<n^{2}+n= (n+1)^{2}$ (loại vì $C$ là số chính phương)

TH2: $d>n$ thì $d \vdots n$ chọn $d=kn$ ($n \vdots k, k \geq 2$) ta xét:

$C=n^{2}+kn \vdots k^{2}$ suy ra $m^{2} \vdots k^{2}$  suy ra $m\vdots k$ 

Đặt $n=kn',m=km'$ ta có: $C=n'^{2}k^{2}+k^{2}n'=m'^{2}k^{2} \Rightarrow n'^{2}+n'=m'^{2}$ tiếp tục như trên dẫn đến điều vô lý.

Suy ra $n^{2}$ không chia hết cho $d$ mặt khác $3n^{2}\vdots d$ suy ra $3 \vdots d$ hoặc $3n^{2}=d$ 

Với $3 \vdots d$ thì $d=1$ hoặc $d=3$

$d=1$ thì $n^{2}+1$ là số chính phương dễ dàng tìm ra $n=0$ (loại vì $n$ nguyên dương)

$d=3$ thì $n^{2}+3$ là số chính phương dễ dàng tìm ra $n=1$, khi đó $3=3n$

Suy ra $DPCM$

P/S:Tâm trạng không được vui nhưng vẫn phải giải toán các bác ạ, huhu 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 19-08-2017 - 12:50