cho $x,y,z \in [-1;1], x+y+z = 0$. Chứng minh rằng $x^2+y^2+z^2\leq 2$
cho $x,y,z \in [-1;1], x+y+z = 0$. Chứng minh rằng $x^2+y^2+z^2\leq 2$
#1
Đã gửi 31-08-2017 - 11:33
#2
Đã gửi 31-08-2017 - 14:39
$P=x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=-2(xy+yz+zx)$
Do $x,y,z\in [-1;1]\implies (x+1)(y+1)(z+1)\ge 0\ge (x-1)(y-1)(z-1)\iff 2(xy+yz+zx)\ge -2$
Suy ra $P\le 2$. Điểm rơi $(x;y;z)=(1;-1; 0)$ và hoán vị.
- bigway1906 và bunhiaxcopki thích
#3
Đã gửi 31-08-2017 - 21:55
Nhìn vào bài toán là ta đã nghĩ ngay đến không mới mà không lạ. Đó là kĩ thuật look at the endpoint.
Ta có: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 2$
<=> $2(xy+yz+zx)+2\geq 0$
$<=> (y+z)x+yz+1\geq 0$
Xét hàm $f(x)=(y+z)x+yz+1$
.$f(1)=y+z+yz+1=(y+1)(z+1)\geq 0$
.$f(-1)=1+yz-z-y=(1-y)(1-z)\geq 0$
Vì $f(1)\geq 0,f(-1)\geq 0$ nên $f(x)\geq 0$
=> Bđt được chứng minh.
- bigway1906 yêu thích
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh