Chủ đề này có 2 trả lời

[bigway1906]

cho $x,y,z \in [-1;1], x+y+z = 0$. Chứng minh rằng $x^2+y^2+z^2\leq 2$

[hanguyen445]

$P=x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=-2(xy+yz+zx)$

Do $x,y,z\in [-1;1]\implies (x+1)(y+1)(z+1)\ge 0\ge (x-1)(y-1)(z-1)\iff 2(xy+yz+zx)\ge -2$

Suy ra $P\le 2$. Điểm rơi $(x;y;z)=(1;-1; 0)$ và hoán vị.

[Duy Thai2002]

Nhìn vào bài toán là ta đã nghĩ ngay đến không mới mà không lạ. Đó là kĩ thuật look at the endpoint.

Ta có: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 2$

<=> $2(xy+yz+zx)+2\geq 0$

$<=> (y+z)x+yz+1\geq 0$

Xét hàm $f(x)=(y+z)x+yz+1$

.$f(1)=y+z+yz+1=(y+1)(z+1)\geq 0$

.$f(-1)=1+yz-z-y=(1-y)(1-z)\geq 0$

Vì $f(1)\geq 0,f(-1)\geq 0$ nên $f(x)\geq 0$

=> Bđt được chứng minh.