Chủ đề này có 3 trả lời

[ngocminhtri]

Cho tam giác ABC nhọn, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC (M khác B, C). Từ M vẽ ME // AC với E thuộc AB, vẽ MF // AB với F thuộc AC. Chứng minh rằng AE.AB+AF.AC>BM.MC

(Thi học sinh giỏi quận 3 vòng 1 2016-2017)

 

PLEASE HELP ME!!!!

 

[Nike Adidas]

bài hay đó

[ngocminhtri]

Giúp em với coi    .Don't just say that!!!

[Hai2003]

Không mất tính tổng quát, giả sử $AB\leq AC$ và $MC\leq MB$

Gọi $G$ là trung điểm $AB$, $H$ là trung điểm $AC$ và $I$, $J$ lần lượt là giao điểm của $ME$, $MF$ với $GH$

Áp dụng vài BĐT quen thuộc

$\left\{\begin{matrix} BM.MC \leq\dfrac{(BM+MC)^2}{4}=\dfrac{BC^2}{4}\\ \dfrac{AB^2}{2}+\dfrac{AC^2}{2}\geq\dfrac{(AB+AC)^2}{4}>\dfrac{BC^2}{4} \end{matrix}\right.\\ \Rightarrow AG.AB+AH.AC>BM.MC \ \ \ \ \color{red}{(1)}$

Ta có $GI=GH-IH=\frac{BC}{2}-MC=\frac{BC}{2}-BC+BM=GJ-\frac{BC}{2}=HJ$

Suy ra $\bigtriangleup EGI=\bigtriangleup FJH \Rightarrow FH=EI \geq EG$

 

Mà $AC\geq AB$ nên $AC.HF\geq AB.EG \Rightarrow AC(AF-AH)\geq AB(AG-AE)$

$\Rightarrow AE.AB+AF.AC\geq AG.AB+AH.AC \ \ \ \ \ \ \ \ \color{red}{(2)}$

Từ $\color{red}{(1), (2)} \Rightarrow AE.AB+AF.AC>BM.MC$