Cho tam giác $ABC$ và $(O)$, $(I)$ tương ứng là đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác. $(I)$ tiếp xúc với $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. Kẻ các đường cao $AH$, $BK$, $CL$. Gọi $A_0$, $B_0$, $C_0$ tương ứng là trung điểm của $AH$, $BK$, $CL$. Chứng minh rằng $DA_0$, $EB_0$, $FC_0$ đồng quy.
Chứng minh rằng $DA_0$, $EB_0$, $FC_0$ đồng quy
#1
Đã gửi 03-09-2017 - 11:07
#2
Đã gửi 03-09-2017 - 17:10
bổ đề: Cho tam giác $ABC$, đường tròn nội tiếp tiếp xúc $BC$ tại $D$, tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ là $J$ và trung điểm đường cao từ $A$ là $X$ thì $J,D,X$ thẳng
(điều này khá quen thuộc, mình sẽ không trình bày lời giải cho bổ đề này)
quay lại bài toán
gọi tâm đường tròn bàng tiếp góc $A,B,C$ là $X,Y,Z$. thì $X,D,A_0$ thẳng. Gọi giao của $XD$ và $YZ$ là $P$ thì theo tính đồng dạng ta có $\frac{PY}{PZ}=\frac{DB}{DC}$ vậy theo ceva ta có $XD,YE,ZF$ đồng qui dpcm
- Caspper yêu thích
#3
Đã gửi 04-09-2017 - 15:59
Mình không hiểu lắm cái chỗ theo tính đồng dạng ta có $\frac{PY}{PZ}=\frac{DB}{DC}$?? À và phải chứng minh điểm đồng quy đó nằm trên $OI$ thì làm thế nào nhỉbổ đề: Cho tam giác $ABC$, đường tròn nội tiếp tiếp xúc $BC$ tại $D$, tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ là $J$ và trung điểm đường cao từ $A$ là $X$ thì $J,D,X$ thẳng
(điều này khá quen thuộc, mình sẽ không trình bày lời giải cho bổ đề này)
quay lại bài toán
gọi tâm đường tròn bàng tiếp góc $A,B,C$ là $X,Y,Z$. thì $X,D,A_0$ thẳng. Gọi giao của $XD$ và $YZ$ là $P$ thì theo tính đồng dạng ta có $\frac{PY}{PZ}=\frac{DB}{DC}$ vậy theo ceva ta có $XD,YE,ZF$ đồng qui dpcm
#4
Đã gửi 04-09-2017 - 17:21
bạn có thể nhìn theo hướng sau. Xét tam giác $XYZ$ thì rõ ràng $XA,YB,ZC$ là các đường cao vậy $\triangle XBC$ đồng dạng $\triangle XYZ$ vậy ta có tỉ số $\frac{PY}{PZ}=\frac{DB}{DC}$ mà theo định lí Sodat cho 2 tam giác orthologic thì ta có điểm thấy xạ của $XYZ$ và $ABC$ thuộc đường thẳng Euler của $\triangle DEF$ vậy điểm đồng qui thuộc $OI$
nếu bạn chưa biết về định lí Sodat cho 2 tam giác orthologic bạn có thể tham khảo link sau
https://artofproblem...ctive_triangles
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHN: 04-09-2017 - 17:21
- Caspper yêu thích
#5
Đã gửi 04-09-2017 - 17:37
bạn có thể nhìn theo hướng sau. Xét tam giác $XYZ$ thì rõ ràng $XA,YB,ZC$ là các đường cao vậy $\triangle XBC$ đồng dạng $\triangle XYZ$ vậy ta có tỉ số $\frac{PY}{PZ}=\frac{DB}{DC}$ mà theo định lí Sodat cho 2 tam giác orthologic thì ta có điểm thấy xạ của $XYZ$ và $ABC$ thuộc đường thẳng Euler của $\triangle DEF$ vậy điểm đồng qui thuộc $OI$
nếu bạn chưa biết về định lí Sodat cho 2 tam giác orthologic bạn có thể tham khảo link sau
mình đã đọc về định lý Sodat ở trên link và mình cux đã hiểu nhưng mình cux chưa thấy nó liên quan lắm đến vấn đề điểm đồng quy nằm trên $OI$?? Và mình cux chưa hiểu lắm về "xạ của tam giác $XYZ$ và $ABC$ thuộc đường Euler của $\triangle DEF$?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Caspper: 04-09-2017 - 17:37
#6
Đã gửi 04-09-2017 - 17:55
bạn có $DE//YZ$ vậy đường thẳng qua $D$ vuông với $YZ$ đi qua trực tâm của $\triangle DEF$ tương tự vậy ta có trực tâm của $\triangle DEF$ là tâm orthologic thứ nhất, mà ta lại có dường thẳng qua $X$ vuông $DE$ đi qua $I$ vậy $I$ chính là tâm orthologic thừ 2 mà theo chứng minh đầu tiên thì $XD,YE,ZF$ dồng qui vậy theo định lí sodat thì điểm dồng qui thuộc đường thẳng qua $I$ và trực tâm của $\triangle DEF$ vậy điểm dồng qui thuộc đường thẳng euler của $\triangle DEF$
- Caspper yêu thích
#7
Đã gửi 18-09-2017 - 18:00
XD cắt (OI) tại T. Khi đó chỉ cần tính tỷ lệ TI/TO the r, R. Khi đó kết luận được T không phụ thuộc vào X, Y, Z là 3 đường đồng quy thôi.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh