Chủ đề này có 1 trả lời

[blackwave]

Tìm $\lim_{n\to \infty} \dfrac{n}{(n!)^{1/n}}$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 04-09-2017 - 21:39

[An Infinitesimal]

Tìm $\lim_{n\to \infty} \dfrac{n}{(n!)^{1/n}}$
 

 

Nếu đánh giá trực tiếp thì có thể dùng định lý kẹp nhưng có vẻ khá phiền.

Dùng PP qui nạp, ta thu được $n! \ge \left(\frac{n}{e}\right)^n.$ Hơn nữa, ta dùng thêm đánh giá (không biết c/m thế nào cho dễ):
\[ n! \le e\ n^{n+\frac12}e^{-n}.\]

(Đánh giá trên liên quan Stirling's approximation: $\sqrt{2\pi}\ n^{n+\frac12}e^{-n} \le n! \le e\ n^{n+\frac12}e^{-n}$.)

 

Thay cho lời giải khó trên, ta có thể giải quyết bài toán một cách gọn nhẹ thông qua bổ đề sau (bổ đề quen thuộc):

Nếu $\left\{a_n\right\}$ là dãy số dương thỏa $\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}$ tồn tại, giả sử  $\alpha=\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}$. Khi đó, $\lim \sqrt[n]{a_n}=\alpha.$

(Kết quả này cũng có thể xem là một hệ quả của Cesaro!)

Xét $a_n=\frac{n^n}{n!}$, ta dễ dàng thấy rằng $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}= \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\to e$ khi $n\to \infty.$

 

Do đó, $\lim \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e.$