Chủ đề này có 3 trả lời

[tsudere]

Cho a,b là các số thực thỏa mãn: a, b thuộc [1/4;2]  và a+b=4ab. Tìm GTLN của biểu thức: 

$P=(a-b)^{2}-2(a+b)$


Đồng thời cho em hỏi ai giỏi toán 10,11 có thể nhận dạy kèm em không ạ!!!
 

[tritanngo99]

Cho a,b là các số thực thỏa mãn: a, b thuộc [1/4;2]  và a+b=4ab. Tìm GTLN của biểu thức: 

$P=(a-b)^{2}-2(a+b)$


Đồng thời cho em hỏi ai giỏi toán 10,11 có thể nhận dạy kèm em không ạ!!!
 

Ta có: $a,b\in [\frac{1}{4};2]\implies \left\{\begin{matrix} (a-\frac{1}{4})(b-\frac{1}{4})\ge 0(1)\\(a-2)(b-2)\ge 0(2)  \end{matrix}\right.$.

Khi đó: $(1)\iff ab\ge \frac{1}{4}(a+b)-\frac{1}{16}$( luôn đúng do $ab=\frac{1}{4}(a+b)$).

$(2)\iff ab\ge 2(a+b)-4\iff \frac{1}{4}(a+b)\ge 2(a+b)-4\iff a+b\le \frac{16}{7}$.

Lại có: $0<a+b=4ab\le (a+b)^2\implies a+b\ge 1$.

Đặt $t=a+b\implies t\in [1;\frac{16}{7}]$.

Lúc này ta có: $P=(a-b)^2-2(a+b)=(a+b)^2-4ab-2(a+b)=(a+b)^2-3(a+b)=t^2-3t$(do $a+b=4ab$).

Đến đây ta khảo sát hàm $f(t)=t^2-3t,t\in [1;\frac{16}{7}]$.

Ta có: $f'(t)=2t-3;f'(t)=0\iff t=\frac{3}{2}\in [1;\frac{16}{7}]$.

Do $f(t)$ liên tục trên $[1;\frac{16}{7}]$ nên $Max[f(t)]=Max[f(1);f(\frac{3}{2});f(\frac{16}{7})]$.

$\implies Max(P)=Max(f(t))=f(\frac{16}{7})=\frac{-80}{49}$.

Dấu $=$ xảy ra tại $(a;b)=(2;\frac{2}{7});(\frac{2}{7};2)$.

Kết luận: $P_{max}=\frac{-80}{49}$.

[tsudere]

Ta có: $a,b\in [\frac{1}{4};2]\implies \left\{\begin{matrix} (a-\frac{1}{4})(b-\frac{1}{4})\ge 0(1)\\(a-2)(b-2)\ge 0(2)  \end{matrix}\right.$.

Khi đó: $(1)\iff ab\ge \frac{1}{4}(a+b)-\frac{1}{16}$( luôn đúng do $ab=\frac{1}{4}(a+b)$).

$(2)\iff ab\ge 2(a+b)-4\iff \frac{1}{4}(a+b)\ge 2(a+b)-4\iff a+b\le \frac{16}{7}$.

Lại có: $0<a+b=4ab\le (a+b)^2\implies a+b\ge 1$.

Đặt $t=a+b\implies t\in [1;\frac{16}{7}]$.

Lúc này ta có: $P=(a-b)^2-2(a+b)=(a+b)^2-4ab-2(a+b)=(a+b)^2-3(a+b)=t^2-3t$(do $a+b=4ab$).

Đến đây ta khảo sát hàm $f(t)=t^2-3t,t\in [1;\frac{16}{7}]$.

Ta có: $f'(t)=2t-3;f'(t)=0\iff t=\frac{3}{2}\in [1;\frac{16}{7}]$.

Do $f(t)$ liên tục trên $[1;\frac{16}{7}]$ nên $Max[f(t)]=Max[f(1);f(\frac{3}{2});f(\frac{16}{7})]$.

$\implies Max(P)=Max(f(t))=f(\frac{16}{7})=\frac{-80}{49}$.

Dấu $=$ xảy ra tại $(a;b)=(2;\frac{2}{7});(\frac{2}{7};2)$.

Kết luận: $P_{max}=\frac{-80}{49}$.

Phần khảo sát hàm số chưa học nên mình chưa hiểu lắm ạ, giải thích rõ giúp mình với ạ.
Với lại có thể nhận dạy kèm mình không ạ?

[MoMo123]

Phần khảo sát hàm số chưa học nên mình chưa hiểu lắm ạ, giải thích rõ giúp mình với ạ.
Với lại có thể nhận dạy kèm mình không ạ?

 

Ta có: $a,b\in [\frac{1}{4};2]\implies \left\{\begin{matrix} (a-\frac{1}{4})(b-\frac{1}{4})\ge 0(1)\\(a-2)(b-2)\ge 0(2)  \end{matrix}\right.$.

Khi đó: $(1)\iff ab\ge \frac{1}{4}(a+b)-\frac{1}{16}$( luôn đúng do $ab=\frac{1}{4}(a+b)$).

$(2)\iff ab\ge 2(a+b)-4\iff \frac{1}{4}(a+b)\ge 2(a+b)-4\iff a+b\le \frac{16}{7}$.

Lại có: $0<a+b=4ab\le (a+b)^2\implies a+b\ge 1$.

Đặt $t=a+b\implies t\in [1;\frac{16}{7}]$.

Lúc này ta có: $P=(a-b)^2-2(a+b)=(a+b)^2-4ab-2(a+b)=(a+b)^2-3(a+b)=t^2-3t$(do $a+b=4ab$).

Đến đây ta khảo sát hàm $f(t)=t^2-3t,t\in [1;\frac{16}{7}]$.

Ta có: $f'(t)=2t-3;f'(t)=0\iff t=\frac{3}{2}\in [1;\frac{16}{7}]$.

Do $f(t)$ liên tục trên $[1;\frac{16}{7}]$ nên $Max[f(t)]=Max[f(1);f(\frac{3}{2});f(\frac{16}{7})]$.

$\implies Max(P)=Max(f(t))=f(\frac{16}{7})=\frac{-80}{49}$.

Dấu $=$ xảy ra tại $(a;b)=(2;\frac{2}{7});(\frac{2}{7};2)$.

Kết luận: $P_{max}=\frac{-80}{49}$.

bài này có rất nhiều cách giải , ở đây cũng có một cách ạ