Chủ đề này có 1 trả lời

[Amasa]

Chứng minh nếu phương trình $x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+bx+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực, thì:

$a^{2}+b^{2}\geq 8$

[minhducndc]

$x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+bx+1=0$

$\Leftrightarrow x^{4}+2x^{2}+1= -(ax^{3}+bx)$

$\Rightarrow (x^{2}+1)^{4}= (ax^{3}+bx)^{2}\leq (a^{2}+b^{2})(x^{6}+x^{2})$)

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geq \frac{(x^{2}+1)^{4}}{x^{6}+x^{2}}$

Đặt $x^{2}=a (a\geq 0)$ ta cần chứng minh (a>0 vif x=0 ko la no)

$\frac{(a+1)^{4}}{a^{3}+a}\geq 8$

 

$\Leftrightarrow a^{4}+6a^{2}+1-4a^{3}-4a\geq 0 \Leftrightarrow (a^{4}-a^{3})-(3a^{3}-3a^{2})+(3a^{2}-3a)-(a-1)\geq 0\Leftrightarrow (a^{3}-3a^{2}+3a-1)(a-1)\geq 0\Leftrightarrow (a-1)^{4}\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhducndc: 10-09-2017 - 18:06