1 reply to this topic

[Amasa]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=2. Chứng minh rằng:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$

[MoMo123]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=2. Chứng minh rằng:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$

Mình có cách này không biết có được không

 Ta có bất đẳng thức phụ sau $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{9}$(cái này có thể CM bằng bất đẳng thức Holder)

nhưng ở đây mình xin nêu thêm một cách CM khác là dùng $Bunhiacopxki$

$(a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{4}}{9}$

$\rightarrow (a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{9}$ (đpcm)

Quay trở lại bài toán 

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, $Bunhiacopxki$, ta có $VP^{2}\leq $$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)=abc(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \frac{(ab+bc+ca)^{2}.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{3}=\frac{(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{3}\leq \frac{(\frac{(a+b+c)^{2}}{3})^{3}}{3}=\frac{(a+b+c)^{6}}{81}$ $\leq VT^{2}$

 $\rightarrow VP\leq VT$ (đpcm)

 

Edited by MoMo123, 10-09-2017 - 14:26.