Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. CMR $\frac{a}{a+1}+\frac{2b}{b+2}+\frac{3c}{c+3}\leq \frac{6}{7}$
AM-GM
Bắt đầu bởi NguyenHieuNghia, 13-09-2017 - 11:25
#2
Đã gửi 13-09-2017 - 14:07
tranquangthien
-
- Thành viên mới
-
- 7 Bài viết
Lính mới
Bdt <=> 1 - 1/(a+1) + 2 - 4/(b+2) + 3 - 9/(c+3) <= 6/7
<=> 1/(a+1) + 4/(b+2) + 9/(c+3) >= 36/7
Áp dụng Cauchy-Schwart ta có:
VT>=(1+2+3)^2/(a+1+b+2+c+3)
=36/7 ( đpcm )
Dấu"=" xảy ra khi : 1/(a+1) = 2/(b+2) = 3/(c+3) và a + b + c = 1
=> a=1/6 ; b=1/3 ; c=1/2
<=> 1/(a+1) + 4/(b+2) + 9/(c+3) >= 36/7
Áp dụng Cauchy-Schwart ta có:
VT>=(1+2+3)^2/(a+1+b+2+c+3)
=36/7 ( đpcm )
Dấu"=" xảy ra khi : 1/(a+1) = 2/(b+2) = 3/(c+3) và a + b + c = 1
=> a=1/6 ; b=1/3 ; c=1/2
- NguyenHieuNghia yêu thích
Hạnh phúc thì khóc mà đau khổ thì lại cười.
#3
Đã gửi 13-09-2017 - 14:11
Duy Thai2002
-
- Thành viên
-
- 433 Bài viết
Sĩ quan
Bđt<=> $\frac{1}{a+1}+\frac{4}{b+2}+\frac{9}{c+3}\geq \frac{36}{7}$
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng engel, ta có:
$\frac{1}{a+1}+\frac{4}{b+2}+\frac{9}{c+3}\geq \frac{(1+2+3)^{2}}{a+b+c+1+2+3}=\frac{36}{7}$
=> Đpcm.
- minhducndc và NguyenHieuNghia thích
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
