4 replies to this topic

[nguyen kd]

Cho $x,y,z \ge 0$. Chứng minh :${x^3} + {y^3} + {z^3} + 2({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x) \ge 3(x{y^2} + y{z^2} + z{x^2})$

[TrucCumgarDaklak]

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z$$\Rightarrow \left ( x-y \right )\left ( x-z \right )\left ( y-z \right )\geq 0\Leftrightarrow \sum x^{2}y\geq \sum xy^{2}\Leftrightarrow 2\sum x^{2}y\geq 2\sum xy^{2}$

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sum \left ( x^{3}+y^{3}+y^{3} \right )\geq \sum 3xy^{2}\Leftrightarrow 3\sum x^{3}\geq 3\sum xy^{2}\Leftrightarrow\sum x^{3}\geq \sum xy^{2}$

$\Rightarrow \sum x^{3}+2\sum x^{2}y\geq 3\sum xy^{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z\geq 0$

[nguyen kd]

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z$$\Rightarrow \left ( x-y \right )\left ( x-z \right )\left ( y-z \right )\geq 0\Leftrightarrow \sum x^{2}y\geq \sum xy^{2}\Leftrightarrow 2\sum x^{2}y\geq 2\sum xy^{2}$

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sum \left ( x^{3}+y^{3}+y^{3} \right )\geq \sum 3xy^{2}\Leftrightarrow 3\sum x^{3}\geq 3\sum xy^{2}\Leftrightarrow\sum x^{3}\geq \sum xy^{2}$

$\Rightarrow \sum x^{3}+2\sum x^{2}y\geq 3\sum xy^{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z\geq 0$

bài toán không đối xứng, bạn cần phải xét thêm trường hợp $x \le y \le z$ 

$x \le y \le z \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)\left( {y - z} \right) \le 0 \Leftrightarrow \sum {{x^2}} y \le \sum x {y^2}$.... ?

Edited by nguyen kd, 30-09-2017 - 20:49.

[nguyen kd]

Bài toán trên với bài toán này tưởng chừng như mặt trăng với mặt trời khó tìm được điểm chung nào, nhưng thực chất có đấy các bạn.Nếu bạn giải quyết được bài toán trên thì bài bài toán này cũng sẽ OK thôi.

Cho $a,b,c > 0$ chứng minh :

${c \over {\sqrt {(3b + a)(3c + b)} }} + {a \over {\sqrt {(3c + b)(3a + c)} }} + {b \over {\sqrt {(3a + c)(3b + a)} }} \ge {3 \over 4}$

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $x,y,z \ge 0$. Chứng minh :${x^3} + {y^3} + {z^3} + 2({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x) \ge 3(x{y^2} + y{z^2} + z{x^2})$

 

Lời giải: https://diendantoanh...ào/#entry474480