3 replies to this topic

[Thanhbone]

Chứng minh
$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2310}+ (\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2310}$ thuộc Z

Edited by MoMo123, 23-10-2017 - 23:06.

[Tea Coffee]

Dùng quy nạp.

Ta cần chứng minh: $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2n}+(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2n} \epsilon \mathbb{Z},n\epsilon N$

+) Với $n=0$ => thỏa mãn

+) Giả sử đúng với $n=k$

=> $(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2k}+(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2k}\epsilon Z$

+) Chứng minh đúng với $n=k+1$

Ta có:

$(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2k+2}+(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2k+2}=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2k}.(5-2\sqrt{6})+(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2k}.(5+2\sqrt{6})=5((\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2k}+(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2k})-(2\sqrt{6}(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2k}-2\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2k})$

Mặt khác, $\sqrt{6}(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2k}-\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2k}=\sqrt{6}(5-2\sqrt{6})^{k}-\sqrt{6}(5+2\sqrt{6})^{k}=\sqrt{6}.(5-2\sqrt{6}-5-2\sqrt{6})...=-24...$ 

Nhân vế bên trong dấu ngoặc bạn CM được nguyên => ĐPCM

Sau đó với $n=1155$ đúng 

Thích thì Like nha!

Edited by Tea Coffee, 23-10-2017 - 23:31.

[dat102]

Dùng quy nạp.

Ta cần chứng minh: $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2n}+(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2n} \epsilon \mathbb{Z},n\epsilon N$

+) Với $n=0$ => thỏa mãn

+) Giả sử đúng với $n=k$

=> $(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2k}+(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2k}\epsilon Z$

+) Chứng minh đúng với $n=k+1$

Ta có:

$(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2k+2}+(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2k+2}=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2k}.(5-2\sqrt{6})+(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2k}.(5+2\sqrt{6})=5((\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2k}+(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2k})-(2\sqrt{6}(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2k}-2\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2k})$

Mặt khác, $\sqrt{6}(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2k}-\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2k}=\sqrt{6}(5-2\sqrt{6})^{k}-\sqrt{6}(5+2\sqrt{6})^{k}=\sqrt{6}.(5-2\sqrt{6}-5-2\sqrt{6})...=-24...$ 

Nhân vế bên trong dấu ngoặc bạn CM được nguyên => ĐPCM

Sau đó với $n=1155$ đúng 

Thích thì Like nha!

Bạn chứng minh luôn vế trong dấu ngoặc đi. Mình không biết chứng mình làm sao cả.

[Tea Coffee]

Nhóm nhân tử 2 số liền kề