Chủ đề này có 8 trả lời

[honglanfa157]

Cho $2^{11}$ mảnh giấy , trên mỗi mảnh có ghi 1 số 1.Ta thực hiện phép biến đổi theo quy tắc sau: Ở mỗi bước ta chọn ra hai mảnh giấy bất kì, nếu số trên 2 mảnh giấy la a và b thì ta xóa 2 số này và viết lại vào cả 2 mảnh giấy đã chọn số mới là a+b. Chứng minh rằng sau 11* $2^{10}$lần thực hiện như vậy thì tổng tất cả các số trong các mảnh giấy ít nhất bằng $4^{11}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi honglanfa157: 25-10-2017 - 19:12

[Nguyenduchieu]

Đặt $P_{k}$ là tích của các số trên mảnh giấy sau bước thứ k.

Trong bước thứ (k+1) thì hai số a và b được thay bởi a+b nên tích ab được thay bởi $(a+b)^{2}$.Từ bất đẳng thức $(a+b)^{2}$$\geq 4ab$, ta suy ra $P_{k+1}\geq 4P_{k}$.

Bắt đầu với $P_{0}=1$, thì bằng quy nạp ta có ngay $P_{k}\geq 4^{k},\forall k\in N$ 

Đặc biệt với k=11.$2^{10}$ ta được: $P_{11.2^{10}}\geq 4^{11.2^{10}}=(2^{11})^{2^{11}}$

Gọi S là tổng các số ghi trong các mảnh giấy sau 11.$2^{10}$ bước.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với $2^{11}$ số ta được:

                S$\geq 2^{11}.\sqrt[2^{11}]{P_{11.2^{10}}}\geq 2^{22}=4^{11}$(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenduchieu: 26-10-2017 - 20:12

[hoanglong9a1]

Bạn ơi có phải tìm dấu bằng không nhỉ ?

[hoanglong9a1]

Bạn làm lạc đề rồi.Đề bài là sau 11*2^10 lần mà bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong9a1: 26-10-2017 - 18:53

[Nguyenduchieu]

Bạn làm lạc đề rồi.Đề bài là sau 11*2^10 lần mà bạn.

Mình sửa lại rồi đó

[hoanglong9a1]

Nhưng nếu thế thì phần sửa lại không đúng

[hoanglong9a1]

Đặc biệt với k=11.210 ta được: P11.210≥411.210=(211)211

Chỗ này sai rồi.

[Nguyenduchieu]

Nhưng nếu thế thì phần sửa lại không đúng

Đúng đó.Mình đang cầm tờ đáp án đây.

Đây là đề Vĩnh Yên vừa thi hôm nọ mà.

[Nguyenduchieu]

Đặc biệt với k=11.210 ta được: P11.210≥411.210=(211)211

Chỗ này sai rồi.

$4^{11.2^{10}}=2^{2.11.2^{10}}=(2^{11})^{2^{11}}$