Bài toán 34 : Cho $F_{n}=2^{2^n}+1$ là số Fermat thứ $n$.
a, Với mỗi $n$ nguyên dương. Gọi $p$ là ước nguyên tố lẻ bất kì của $F_{n}$. Chứng minh $p \equiv 1$ (mod $2^{n+2}$).
Bổ đề 1: $p$ là ước nguyên tố lẻ của $a^{2^{n}}+1$ , a là số tự nhiên, $a>1$ thì $p \equiv 1$ (mod $2^{n+1}$)
Bổ đề 2: Nếu $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $p \equiv 1$ (mod $8$) thì theo bổ đề 2 tồn tại $x$ để $x^{2} \equiv 2$ (mod $p$)
Trở lại bài toán:
Áp dụng bổ đề 1 suy ra $p \equiv 1$ (mod $2^{n+1}$) nên $p \equiv 1$ (mod $8$)
Suy ra tồn tại $x$ để $x^{2} \equiv 2$ (mod $p$)
Suy ra $(x^{2})^{2^{n}} \equiv 2^{2^{n}} \equiv -1$ (mod $p$)
Suy ra $x^{2^{n+1}} \equiv -1$ (mod $p$)
Áp dụng lần nữa bổ đề 1 suy ra $p \equiv 1$ (mod $2^{n+2}$).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gosh: 18-12-2017 - 20:50