Chủ đề này có 1 trả lời

[hoanglong9a1]

Cho a,b,c >0; $a^2+b^2+c^2$ =1. CM: $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

[toannguyenebolala]

Cho a,b,c >0; $a^2+b^2+c^2$ =1. CM: $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ta có $\sum \frac{a^{2}}{b+c}=\sum \frac{a^4}{a^2(b+c)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)}=\frac{1}{\sum a-\sum a^3}$

Sử dụng AM-GM, ta có: $\left\{\begin{matrix} a^3+ \frac{a}{3}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}a^2& & \\ b^3+ \frac{b}{3}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}b^2& & \\ c^3+ \frac{c}{3}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}c^2 & & \end{matrix}\right.$

.Suy ra $\sum a-\sum a^3\leq \frac{4}{3}\sum a-\frac{2}{\sqrt{3}}\sum a^2\leq \frac{4}{3}\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}-\frac{2}{\sqrt{3}} =\frac{2}{\sqrt{3}}$

Suy ra $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{\sqrt{3}}{2} (Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toannguyenebolala: 08-11-2017 - 23:57