Chủ đề này có 2 trả lời

[Haduyduc]

Cho x,y,z >-1. Tìm GTNN

A=$\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}$

[trambau]

Cho x,y,z >-1. Tìm GTNN

A=$\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}$

$A=\sum \frac{1+x^2}{1+y+z^2}\geq \sum \frac{1+x^2}{1+|y|+z^2}\geq \sum \frac{2+2x^2}{3+y^2+2z^2}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=3+y^2+2z^2 & & & \\ b=3+z^2+2x^2 & & & \\ c=3+x^2+2y^2 & & & \end{matrix}\right.$ 

$\Rightarrow \frac{2}{9}(\sum \frac{4b+c-2a}{a})\geq \frac{2}{9}[\frac{4b}{a}+\frac{4c}{b}+\frac{4a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b}-6]\geq \frac{2}{9}(12+3-6)=2$

[KietLW9]

Cho x,y,z >-1. Tìm GTNN

A=$\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: 

$\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\geqslant \frac{1+x^2}{1+\frac{y^2+1}{2}+z^2}+\frac{1+y^2}{1+\frac{z^2+1}{2}+x^2}+\frac{1+z^2}{1+\frac{x^2+1}{2}+y^2}$

Đặt $(x^2+1,y^2+1,z^2+1)\rightarrow (a,b,c)$ thì ta cần chứng minh:

$\frac{2a}{b+2c}+\frac{2b}{c+2a}+\frac{2c}{a+2b}\geqslant 2$

Thật vậy,

$\frac{2a}{b+2c}+\frac{2b}{c+2a}+\frac{2c}{a+2b}=\frac{2a^2}{ab+2ca}+\frac{2b^2}{bc+2ab}+\frac{2c^2}{ca+2bc}\geqslant \frac{2(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}\geqslant 2(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$