1 reply to this topic

[Khoa Linh]

Cho x là số nguyên dương (x>2). CMR: $x^{x+1}> (x+1)^{x}$

Edited by Khoa Linh, 25-11-2017 - 12:20.

[anhquannbk]

Cho x là số nguyên dương (x>2). CMR: $x^{x+1}> (x+1)^{x}$

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.

Với $ x=3$ ta có $ 3^{3+1} > (3+1)^3$.

Giả sử đúng đến $x=k$, tức là $k^{k+1} > (k+1)^k$

Ta chứng minh $ (k+1)^{k+2} > (k+2)^{k+1}$ (*)

Ta sẽ chứng minh

$ \dfrac{(k+1)^{k+2}}{(k+2)^{k+1}} > \dfrac{k^{k+1}}{(k+1)^k} $

$\iff (k+1)^{2k+2} > (k^2+2k)^{k+1}$

$\iff (k^2+2k+1)^{k+1} > (k^2+2k)^{k+1} $ (đúng với mọi $ k \ge 3$)

Suy ra $ \dfrac{(k+1)^{k+2}}{(k+2)^{k+1}} > \dfrac{(k^{k+1}}{(k+1)^k} > 1$ (do (*))

nên $ (k+1)^{k+2} > (k+2)^{k+1}$

Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.

Edited by anhquannbk, 25-11-2017 - 16:00.