Cho $a,b,c$ đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+\frac{(b+c)^2}{(b-c)^2}+\frac{(c+a)^2}{(c-a)^2}\geq 2$
$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+\frac{(b+c)^2}{(b-c)^2}+\frac{(c+a)^2}{(c-a)^2}\geq 2$
Bắt đầu bởi phoenix115, 27-11-2017 - 06:47
#2
Đã gửi 27-11-2017 - 19:48
toannguyenebolala
-
- Thành viên
-
- 432 Bài viết
Sĩ quan
Cho $a,b,c$ đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+\frac{(b+c)^2}{(b-c)^2}+\frac{(c+a)^2}{(c-a)^2}\geq 2$
Trước hết, ta sẽ chứng minh đẳng thức sau:
Với $a,b,c$ đôi một phân biệt thì $\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b}=-1$
Bằng cách đặt $x=\frac{a+b}{a-b},y=\frac{b+c}{b-c},z=\frac{c+a}{c-a}$, ta có $(x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)$. Dẫn đến đẳng thức trên đúng.
Lại có $(x+y+z)^2\geq 0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq -2(xy+yz+zx)=2$. Vậy bài toán được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x+y+z=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toannguyenebolala: 27-11-2017 - 19:48
"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
