1 reply to this topic

[phoenix115]

Cho $a,b,c$ đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:

$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+\frac{(b+c)^2}{(b-c)^2}+\frac{(c+a)^2}{(c-a)^2}\geq 2$  

 

[toannguyenebolala]

 

Cho $a,b,c$ đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:

$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+\frac{(b+c)^2}{(b-c)^2}+\frac{(c+a)^2}{(c-a)^2}\geq 2$  

 

Trước hết, ta sẽ chứng minh đẳng thức sau:

Với $a,b,c$ đôi một phân biệt thì $\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b}=-1$

Bằng cách đặt $x=\frac{a+b}{a-b},y=\frac{b+c}{b-c},z=\frac{c+a}{c-a}$, ta có $(x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)$. Dẫn đến đẳng thức trên đúng.

Lại có $(x+y+z)^2\geq 0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq -2(xy+yz+zx)=2$. Vậy bài toán được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x+y+z=0$

Edited by toannguyenebolala, 27-11-2017 - 19:48.