Chủ đề này có 2 trả lời

[melodias2002]

Cho các số không âm a,b,c sao cho không có hai số nào đồng thời bằng 0. CMR:

$\frac{1}{a^{2}-ab+b^{2}} + \frac{1}{b^{2}-bc+c^{2}} + \frac{1}{c^{2}-ca+a^{2}} \geqslant \frac{12}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 29-11-2017 - 07:07

[DOTOANNANG]

Cho các số không âm a,b,c sao cho không có hai số nào đồng thời bằng 0. CMR:

$\frac{1}{a^{2}-ab+b^{2}} + \frac{1}{b^{2}-bc+c^{2}} + \frac{1}{c^{2}-ca+a^{2}} \geqslant \frac{12}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$TT

Thật ra cách giải là như sau:

Đặt:

$D\left ( a, b, c \right )= \frac{ab+ bc+ ca}{b^{2}- bc+ c^{2}}+\frac{ab+ bc+ ca}{c^{2}- ca+ a^{2}}+ \frac{ab+ bc+ ca}{a^{2}- ab+ b^{2}}$.

Không mất tính tổng quát giả sử $a\leq b\leq c$ ta cần phải chứng minh:

$D\left ( a, b, c \right )\geq D\left ( 0, b, c \right )\geq 3$. Ta có:

$D\left ( a, b, c \right )- D\left ( 0, b, c \right ) = \frac{a\left ( b+ c \right )}{b^{2}- bc+ c^{2}}+ \frac{a\left ( c^{2}+ 2bc- ab \right )}{c^{2}- ca+ a^{2}}+ \frac{a\left ( b^{2}+ 2bc- ac \right )}{a^{2}- ab+ b^{2}} \geq \frac{a\left ( b+ c \right )}{b^{2}- bc+ c^{2}}+ \frac{a\left ( bc- ab \right )}{c^{2}- ca+ a^{2}}+ \frac{a\left ( bc- ac \right )}{a^{2}- ab+ b^{2}}\geq 0$

Và:

$D\left ( 0, b, c \right )-3= \frac{bc}{b^{2}- bc+ c^{2}}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{b}- 3\geq \frac{\left ( b- c \right )^{4}}{bc\left ( b^{2}- bc+ c^{2} \right )}\geq 0$

Suy ra bđt:

$\sum \frac{1}{a^{2}- ab+ b^{2}}\geq \frac{3}{ab+ bc+ ca}\geq \frac{12}{\left ( a+ b+ c \right )^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 02-01-2018 - 12:22

[DOTOANNANG]

Cho các số không âm a,b,c sao cho không có hai số nào đồng thời bằng 0. CMR:

$\frac{1}{a^{2}-ab+b^{2}} + \frac{1}{b^{2}-bc+c^{2}} + \frac{1}{c^{2}-ca+a^{2}} \geqslant \frac{12}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$

OK còn cách 2 nữa:

Không mất tính tổng quát giả sử a= max{a, b, c}, ta có:

$\sum \frac{1}{b^{2}- bc+ c^{2}}\geq \frac{1}{b^{2}- bc+ c^{2}}+ \frac{1}{c^{2}}+ \frac{1}{b^{2}}\geq \frac{12}{\left ( b+ c \right )^{2}}\geq \frac{12}{\left ( a+ b+ c \right )^{2}}$

Bất đẳng thức ở giữa đúng vì:

$\frac{1}{b^{2}- bc+ c^{2}}+ \frac{1}{c^{2}}+ \frac{1}{b^{2}}- \frac{12}{\left ( b+ c \right )^{2}}\geq \frac{1}{b^{2}- bc+ c^{2}}+ \frac{1}{c^{2}}+ \frac{1}{b^{2}}- \frac{3}{bc}= \frac{\left ( b- c \right )^{4}}{b^{2}c^{2}\left ( b^{2}- bc+ c^{2} \right )}\geq 0$