Chủ đề này có 3 trả lời

[gagaga]

cho x,y,z>0 :x+y+z=3

CMR : $\frac{2x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4-yz}+\frac{2y^{2}+x^{2}+z^{2}}{4-xz}+\frac{2z^{2}+x^{2}+y^{2}}{4-xy} \geq 4xyz$

[Diepnguyencva]

cho x,y,z>0 :x+y+z=3

CMR : $\frac{2x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4-yz}+\frac{2y^{2}+x^{2}+z^{2}}{4-xz}+\frac{2z^{2}+x^{2}+y^{2}}{4-xy} \geq 4xyz$

https://tranvantoanc...47504/same/show

[buingoctu]

https://tranvantoanc...47504/same/show

Cậu ở Thanh Hà, Hải dương à,trâu thế, năm nay thi đứt rùi.

P/s: cậu có muốn kết bạn với mình ko?

[KietLW9]

cho x,y,z>0 :x+y+z=3

CMR : $\frac{2x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4-yz}+\frac{2y^{2}+x^{2}+z^{2}}{4-xz}+\frac{2z^{2}+x^{2}+y^{2}}{4-xy} \geq 4xyz$

Ta có: $\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-xz}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\geqslant \frac{2xy+2xz}{4-yz}+\frac{2yz+2yx}{4-xz}+\frac{2zx+2zy}{4-xy}\geqslant \frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-xz}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}$

Như vậy, ta cần chứng minh: 

$\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-xz}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\geqslant 4xyz\Leftrightarrow \frac{\sqrt{yz}}{yz(4-yz)}+\frac{\sqrt{zx}}{zx(4-zx)}+\frac{\sqrt{xy}}{xy(4-xy)}\geqslant 1$

Đặt $\sqrt{xy}=a;\sqrt{yz}=b;\sqrt{zx}=c$ thì $a+b+c\leqslant 3$ và ta cần chứng minh: $\frac{1}{a(4-a^2)}+\frac{1}{b(4-b^2)}+\frac{1}{c(4-c^2)}\geqslant 1$

Ta có: $\frac{1}{a(4-a^2)}- \frac{-a+4}{9}=\frac{(a-1)^2(9-2a-a^2)}{9a(4-a^2)}\geqslant 0\Rightarrow \frac{1}{a(4-a^2)}\geqslant\frac{-a+4}{9}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{1}{a(4-a^2)}+\frac{1}{b(4-b^2)}+\frac{1}{c(4-c^2)}\geqslant \frac{-(a+b+c)+12}{9}\geqslant 1$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$