Chủ đề này có 4 trả lời

[dunglamtym]

Tìm số nguyên tố p để $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 26-12-2017 - 14:06

[kienvuhoang]

Mình nghĩ nếu đổi thành $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ thì bài toán sẽ hay và khó hơn

[dunglamtym]

Mình nghĩ nếu đổi thành $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ thì bài toán sẽ hay và khó hơn

Mình viết sai đầu bài đó ạ. đúng như bạn nói là 2^p-1 -1/p

[minhbeo12]

$\frac{2^{p-1}-1}{p}$ = $a^{2}$    (1)

  . Nếu p = 4k+1, Lại có $a^{2}$p $\equiv 3 (mod4)$ suy ra $a^{2}$ $\equiv 3 (mod4)$ (loại)

Do đó p = 4k+3

(1) trở thành $2^{4k+2} - 1 = pa^2$

             <=> $[2^{2k+1} - 1][2^{2k+1} + 1] = pa^2$

Gọi $(2^{2k+1} - 1; 2^{2k+1} + 1) = d$

=> $\frac{d}{2}$$   =>$d=1$ (do cả hai số đều lẻ)

Nên môi số sẽ có một trong các dạng sao $b^2$ hoặc $pc^2$    ($bc=a, (b,c)=1 $)

Do $2^{2k+1} - 1$ chia 4 dư 3 => $2^(2k+1) - 1$ sẽ có dạng $pc^2$

Ta có $2^{2k+1} + 1 = b^2$

   <=> $2^{2k+1} = (b - 1)(b + 1)$

Từ đây đặt $b - 1 = 2^a$

                  $b + 1= 2^b$

Dê dàng tìm được p 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 28-12-2017 - 18:45
latex

[Zz Isaac Newton Zz]

Tìm số nguyên tố p để $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ là số chính phương.

Đặt $\frac{2^{p-1}-1}{p}=u^{2}$ suy ra: $2^{p-1}-1=pu^{2}.$

Nhận thấy với $p=2$ thì không thỏa mãn do đó $p> 2$ nên $p$ là số lẻ. Từ đó ta có: $\left ( 2^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )\left ( 2^{\frac{p-1}{2}}+1 \right )=pu^{2},$ mà ta thấy $gcd\left ( 2^{\frac{p-1}{2}}-1,2^{\frac{p-1}{2}}+1 \right )=1,$ nên trong hai số đó có một và chỉ một số chia hết cho $p.$

Trường hợp 1: $2^{\frac{p-1}{2}}+1$ $\vdots$ $p.$ Khi đó đặt $2^{\frac{p-1}{2}}-1=m^{2}$ và $2^{\frac{p-1}{2}}+1=pn^{2}$ và $mn=u$

Suy ra: $2^{\frac{p-1}{2}}=m^{2}+1$ nên ta bắt buộc phải có $\frac{p-1}{2}=1\Leftrightarrow p=3,$ nếu không thì vế trái chia hết cho $4$ còn vế phải là $m^{2}\equiv 1$ $($$mod$ $4$$),$ vô lý. Vậy suy ra: $p=3.$

Trường hợp 2: $2^{\frac{p-1}{2}}-1$ $\vdots$ $p.$ Khi đó đặt $2^{\frac{p-1}{2}}-1=pm^{2}$ và $2^{\frac{p-1}{2}}+1=n^{2}$ và $mn=u$

Ta có: $2^{\frac{p-1}{2}}=(n-1)(n+1)$ nên suy ra đặt: $n-1=2^{x}$ và $n+1=2^{y}.$ 

Từ đây ta có: $2^{y}-2^{x}=2\Rightarrow y=2$ và $x=1$ nên suy ra: $n=3\Leftrightarrow 2^{\frac{p-1}{2}}=8=2^{3}\Rightarrow \frac{p-1}{2}=3\Leftrightarrow p=7.$ Vậy suy ra: $p=7.$

Vậy các giá trị nguyên tố $p$ thỏa mãn đề bài là: $p=\left \{ 3; 7 \right \}.$