Chủ đề này có 2 trả lời

[phuonganhbn2003]

Cho a,b,c>0.CM:

 

P=$ \frac{a^2}{2a^2+(b+c-a)^2}+\frac{b^2}{2b^2+(c+a-b)^2}+\frac{c^2}{2c^2+(a+b-c)^2}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 09-12-2017 - 12:44

[nmtuan2001]

$$3-2P=\sum \frac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c-a)^2}=\sum \frac{(b+c-a)^4}{2a^2(b+c-a)^2+(b+c-a)^4}$$

$$\geq \frac{(\sum (b+c-a)^2)}{\sum (2a^2(b+c-a)^2+(b+c-a)^4)}$$

Cần chứng minh $3-2P \geq 1$, hay $\sum (b+c-a)^2 \geq \sum (2a^2(b+c-a)^2+(b+c-a)^4)$.

Sau khai triển, BĐT trên tương đương với $a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \geq a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+c^3a+ca^3$.

BĐT trên đúng theo BĐT Schur bậc 4.

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$.

[Diepnguyencva]

Dùng chuẩn hóa hay hơn, rồi dùng UCT