CHo x,y,z>0 thỏa mãn $\frac{1}{1+x}+ \frac{1}{1+y}+ \frac{1}{1+z} \geqslant 2$ . Tìm max của xyz
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tomdapchai: 17-12-2017 - 11:37
#1
Đã gửi 17-12-2017 - 11:36
Tomdapchai
-
- Thành viên
-
- 59 Bài viết
Hạ sĩ
Khi cuộc đời cho bạn cả trăm lý do để khóc, hãy cho đời thấy bạn có cả ngàn lý do để cười.
When life gives you a hundred reasons to cry, show life that you have a thousand reasons to smile.
#2
Đã gửi 17-12-2017 - 17:15
nmtuan2001
-
- Thành viên
-
- 357 Bài viết
Sĩ quan
CHo x,y,z>0 thỏa mãn $\frac{1}{1+x}+ \frac{1}{1+y}+ \frac{1}{1+z} \geqslant 2$ . Tìm max của xyz
$$\frac{1}{1+x}+ \frac{1}{1+y}+ \frac{1}{1+z} \geq 2$$
$$(1+y)(1+z)+(1+z)(1+x)+(1+x)(1+y) \geq 2(1+x)(1+y)(1+z)$$
$$xy+yz+zx+2xyz \leq 1$$
Đặt $\sqrt[3]{xyz}=t$, ta có $1 \geq xy+yz+zx+2xyz \geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}+2xyz=3t^2+2t^3$.
Suy ra $2t^3+3t^2-1 \leq 0$, hay $(2t-1)(t+1)^2 \leq 0$.
Do đó $2t-1 \leq 0$, nên $t \leq \frac{1}{2}$.
Vậy $xyz \leq \frac{1}{8}$. Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{2}$.
- Khoa Linh yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
