Chủ đề này có 1 trả lời

[Sonhai224]

cho $x,y\in (0,\frac{\pi}{2})$

và thỏa mãn $cos2x+cos2y+2sin(x+y)=2$

tìm giá trị nhỏ nhất của

$P=\frac{sin^4x}{y}+\frac{cos^4y}{x}$

P/s: tiêu đề ghi bị nhầm rồi, không sửa được!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sonhai224: 23-12-2017 - 15:44

[trambau]

cho $x,y\in (0,\frac{\pi}{2})$

và thỏa mãn $cos2x+cos2y+2sin(x+y)=2$

tìm giá trị nhỏ nhất của

$P=\frac{sin^4x}{y}+\frac{cos^4y}{x}$

P/s: tiêu đề ghi bị nhầm rồi, không sửa được!!

Ta chứng minh bài toán với điều kiện  $x,y\in (0,\frac{\pi}{2})$ và thỏa mãn $sin^2x+sin^2y=sin(x+y)$. CMR: $x+y=\frac{\pi}{2}$

Ta có : $y=sinx,y=cosx$ đồng biến trên $(0,\frac{\pi}{2})$ và

$x,y$, $\frac{\pi}{2}-y$, $\frac{\pi}{2}-x$ $\in (0,\frac{\pi}{2})$

giả sử $x+y>\frac{\pi}{2}$

$\left\{\begin{matrix} x>\frac{\pi}{2}-y\Rightarrow sinx>sin(\frac{\pi}{2}-y)=cosy & & \\ y>\frac{\pi}{2}-x \Rightarrow siny>sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow sin^2x+sin^2y=sinx.sinx+siny.siny>sinx.cosy+sinycosx=sin(x+y)$

Tương tự với $x+y>\frac{\pi}{2}$

$\left\{\begin{matrix} x<\frac{\pi}{2}-y\Rightarrow sinx<sin(\frac{\pi}{2}-y)=cosy & & \\ y<\frac{\pi}{2}-x \Rightarrow siny<sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow sin^2x+sin^2y=sinx.sinx+siny.siny<sinx.cosy+sinycosx=sin(x+y)$

đều không thỏa mãn

vậy $x+y=\frac{\pi}{2}$

Trở lại bài toán 

$cos2x+cos2y+2sin(x+y)=2 <=> sin^2x+sin^2y=sin(x+y)$

Áp dụng BĐT $cauchy-schwarz$ được 

$P\geq \frac{(sin^2x+sin^2y)^2}{x+y}=\frac{2}{\pi}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{\pi}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 06-02-2018 - 22:45