cho $x,y\in (0,\frac{\pi}{2})$
và thỏa mãn $cos2x+cos2y+2sin(x+y)=2$
tìm giá trị nhỏ nhất của
$P=\frac{sin^4x}{y}+\frac{cos^4y}{x}$
P/s: tiêu đề ghi bị nhầm rồi, không sửa được!!
Ta chứng minh bài toán với điều kiện $x,y\in (0,\frac{\pi}{2})$ và thỏa mãn $sin^2x+sin^2y=sin(x+y)$. CMR: $x+y=\frac{\pi}{2}$
Ta có : $y=sinx,y=cosx$ đồng biến trên $(0,\frac{\pi}{2})$ và
$x,y$, $\frac{\pi}{2}-y$, $\frac{\pi}{2}-x$ $\in (0,\frac{\pi}{2})$
giả sử $x+y>\frac{\pi}{2}$
$\left\{\begin{matrix} x>\frac{\pi}{2}-y\Rightarrow sinx>sin(\frac{\pi}{2}-y)=cosy & & \\ y>\frac{\pi}{2}-x \Rightarrow siny>sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow sin^2x+sin^2y=sinx.sinx+siny.siny>sinx.cosy+sinycosx=sin(x+y)$
Tương tự với $x+y>\frac{\pi}{2}$
$\left\{\begin{matrix} x<\frac{\pi}{2}-y\Rightarrow sinx<sin(\frac{\pi}{2}-y)=cosy & & \\ y<\frac{\pi}{2}-x \Rightarrow siny<sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow sin^2x+sin^2y=sinx.sinx+siny.siny<sinx.cosy+sinycosx=sin(x+y)$
đều không thỏa mãn
vậy $x+y=\frac{\pi}{2}$
Trở lại bài toán
$cos2x+cos2y+2sin(x+y)=2 <=> sin^2x+sin^2y=sin(x+y)$
Áp dụng BĐT $cauchy-schwarz$ được
$P\geq \frac{(sin^2x+sin^2y)^2}{x+y}=\frac{2}{\pi}$
Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{\pi}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 06-02-2018 - 22:45