Cho $a\leq b\leq c$ nguyên dương. Chứng minh $\left \lfloor \frac{c}{a} \right \rfloor+1\geq \left \lfloor \frac{b-1}{a} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor$
Bất đẳng thức với số nguyên dương
#1
Đã gửi 24-12-2017 - 15:26
#2
Đã gửi 24-12-2017 - 21:45
Cho $a\leq b\leq c$ nguyên dương. Chứng minh $\left \lfloor \frac{c}{a} \right \rfloor+1\geq \left \lfloor \frac{b-1}{a} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor$
Bài toán đêm Noel đẹp thật
Lời giải vắn tất :
Định nghĩa phần nguyên của $ \left \lfloor \frac{x}{y} \right \rfloor$ là thương trong phép chia của $x$ cho $y$
+Với $b=a$, bài toán đúng.
+Xét $a+1 \leq b \leq c.$
Đặt $c=bx_{1}+x_{2};b=ay_{1}+y_{2} \Rightarrow c=ax_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2} $ ($x_{1},y_{1} \geq 1$; $x_{2} \leq b$ , $y_{2} \leq a$)
Thì $\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor=x_{1};\left \lfloor \frac{b-1}{a}\right \rfloor \leq y_{1}; \left \lfloor \frac{c}{a} \right \rfloor \geq x_{1}y_{1}$
Và ta đưa bài toán về chứng minh $x_{1}y_{1}+1 \geq x_{1}+y_{1} \leftrightarrow (x_{1}-1)(y_{1}-1) \geq 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 24-12-2017 - 21:48
- redfox yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh