Chủ đề này có 6 trả lời

[Doflamingo]

1,Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn abcd=1.CMR:

T=$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}}\geq 1$

 

2,Cho các số thực a,b,c,d$\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ thỏa mãn a+b+c+d=4.CMR:

$\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+d^{2}}}\geq 2\sqrt{2}$

 

3,Cho x,y,z>0 và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.CMR:

$\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{z^{2}+x^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

4,Cho x,y>0 và x+y$\geq4$.CMR:

$\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{2+y^{3}}{y^{2}}\geq \frac{9}{2 }$

 

5,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR:

$\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{3}{4}$

 

6,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR

$\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+z}+\frac{z^3}{1+x}\geq \frac{3}{2 }$  

 

7,Cho x,y,z>0 và x+y+z=1.CMR:

$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{4}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doflamingo: 25-12-2017 - 22:54

[Khoa Linh]

 

1,Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn abcd=1.CMR:

T=$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}}\geq 1$

 

2,Cho các số thực a,b,c,d$\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ thỏa mãn a+b+c+d=4.CMR:

$\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+d^{2}}}\geq 2\sqrt{2}$

 

3,Cho x,y,z>0 và $x^{3}+y^{2}+z^{3}=1$.CMR:

$\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{z^{2}+x^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

4,Cho x,y>0 và x+y$\geq4$.CMR:

$\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{2+y^{3}}{y^{2}}\geq \frac{9}{2 }$

 

5,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR:

$\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{3}{4}$

 

6,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR

$\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+z}+\frac{z^3}{1+x}\geq \frac{3}{2 }$  

 

7,Cho x,y,z>0 và x+y+z=1.CMR:

$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{4}{3}$

 

Bài 6: 

$\frac{x^3}{y+1}+\frac{y+1}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3x}{2} \Leftrightarrow \frac{x^3}{y+1}\geq \frac{3x}{2}-\frac{y}{4}-\frac{3}{4} \Rightarrow \sum_{cyc}^{x,y,z}\frac{x^3}{y+1}\geq \frac{5}{4}(x+y+z)-\frac{9}{4}\geq \frac{5}{4}.3\sqrt[3]{xyz}-\frac{9}{4}=\frac{3}{2}$

[Khoa Linh]

 

1,Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn abcd=1.CMR:

T=$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}}\geq 1$

 

2,Cho các số thực a,b,c,d$\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ thỏa mãn a+b+c+d=4.CMR:

$\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+d^{2}}}\geq 2\sqrt{2}$

 

3,Cho x,y,z>0 và $x^{3}+y^{2}+z^{3}=1$.CMR:

$\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{z^{2}+x^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

4,Cho x,y>0 và x+y$\geq4$.CMR:

$\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{2+y^{3}}{y^{2}}\geq \frac{9}{2 }$

 

5,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR:

$\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{3}{4}$

 

6,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR

$\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+z}+\frac{z^3}{1+x}\geq \frac{3}{2 }$  

 

7,Cho x,y,z>0 và x+y+z=1.CMR:

$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{4}{3}$

 

Câu 5:

[YoLo]

Bài 3 sai đề nhé bạn  đề bài phải là x²+y²+z²=1 chứ

lời giải nè

Có x/(y²+z²)=x/(1-x²)

Ta cm BĐT phụ x/(1-x²) >= 3*căn(3)*x²/2

Bạn tự cm nhé sử dụng biến đổi tương đương thôi

sau đó cộng lại => đpcm

[YoLo]

Bài 4 nè

VT = 3x/4+1/x+2/y²+y

      =x/4+1/x+2/y²+y/4+y/4+1/2(x+y)

có x/4+1/x>=1

có 2/y²+y/4+y/4>=3/2

có 1/2(x+y)>=2

cộng vào => đpcm

[nmtuan2001]

2,Cho các số thực a,b,c,d$\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ thỏa mãn a+b+c+d=4.CMR:

$\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+d^{2}}}\geq 2\sqrt{2}$

Đề bài này sai rồi. Thử $a=b=c=1.1$ thì $VT<VP$.

 

1,Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn abcd=1.CMR:

T=$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}}\geq 1$

Đặt $a=\frac{x}{y}, b=\frac{y}{z}, c=\frac{z}{t}, d=\frac{t}{x}$.

$$T=\frac{y^2}{(x+y)^2}+\frac{z^2}{(y+z)^2}+\frac{t^2}{(z+t)^2}+\frac{x^2}{(t+x)^2}$$

$$=\frac{y^2(y+z)^2}{(x+y)^2(y+z)^2}+\frac{z^2(z+t)^2}{(y+z)^2(z+t)^2}+\frac{t^2(t+x)^2}{(z+t)^2(t+x)^2}+\frac{x^2(x+y)^2}{(t+x)^2(x+y)^2}$$

$$\geq \frac{[y(y+z)+z(z+t)+t(t+x)+x(x+y)]^2}{(x+y)^2(y+z)^2+(y+z)^2(z+t)^2+(z+t)^2(t+x)^2+(t+x)^2(x+y)^2}$$

Cần chứng minh: $$(x^2+y^2+z^2+t^2+xy+yz+zt+tx)^2 \geq (x+y)^2(y+z)^2+(y+z)^2(z+t)^2+(z+t)^2(t+x)^2+(t+x)^2(x+y)^2$$

BĐT tương đương với $x^2y^2+y^2z^2+z^2t^2+t^2x^2+4xyzt-2x^2yt-2xy^2z-2yz^2t-2x^2yt \geq 0$.

$$\Leftrightarrow (xy+zt-yz-tx)^2 \geq 0$$

BĐT hiển nhiên đúng. Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=t=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 29-12-2017 - 11:45

[nmtuan2001]

Chém nốt bài cuối

7,Cho x,y,z>0 và x+y+z=1.CMR:

$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{4}{3}$

AM-GM: $\sqrt{xy}=\frac{\sqrt{x.4y}}{2} \leq \frac{x+4y}{4}=\frac{x}{4}+y$

$\sqrt[3]{xyz}=\frac{\sqrt[3]{x.4y.16z}}{4} \leq \frac{x+4y+16z}{12}=\frac{x}{12}+\frac{y}{3}+\frac{4z}{3}$

Vậy $x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}=x+(\frac{x}{4}+y)+(\frac{x}{12}+\frac{y}{3}+\frac{4z}{3})=\frac{4}{3}(x+y+z)=\frac{4}{3}$.

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=4y=16z$, hay $x=\frac{16}{21}, y=\frac{4}{21}, z=\frac{1}{21}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 29-12-2017 - 12:12