Chủ đề này có 2 trả lời

[ThuThao36]

Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-1}{2abc}$

[nmtuan2001]

Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-1}{2abc}$

$P=\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-(a
+b+c)^2}{2abc}=\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}$
Vì $a+b+c=1$,
$$P=(a+b+c)P=9+4\sum \frac{a}{b+c}-\sum \frac{b+c}{a}$$
Mà $4\sum \frac{a}{b+c}=\sum a.\frac{4}{b+c} \leq \sum a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\sum \frac{b+c}{a}$
Suy ra $P \leq 9$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 01-01-2018 - 11:19

[CatKhanhNguyen]

$a+b+c=1 \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9$

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ ta thấy cần chứng minh:

    $\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-1}{2abc}\leq 9$

$\Leftrightarrow -\frac{4}{a+b}-\frac{4}{b+c}-\frac{4}{c+a}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-1}{2abc}\geq -9$

$\Leftrightarrow \frac{4}{c}-\frac{4}{a+b}+\frac{4}{a}-\frac{4}{b+c}+\frac{4}{b}-\frac{4}{c+a}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-1}{2abc}+27$

$\Leftrightarrow \frac{4(a+b-c)}{c(a+b)}+\frac{4(b+c-a)}{a(b+c)}+\frac{4(c+a-b)}{b(c+a)}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-1}{2abc}+27$        $(1)$

Mặt khác:

   $27abc\leq \left ( a+b+c \right )^{3}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2abc}\geq \frac{27}{2}$

Và

   $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=\frac{1}{3}$

Suy ra 

$(1)\Leftrightarrow$$\frac{4(a+b-c)}{c(a+b)}+\frac{4(b+c-a)}{a(b+c)}+\frac{4(c+a-b)}{b(c+a)}\geq 18$

$\Leftrightarrow$$\frac{a+b-c}{c(a+b)}+\frac{b+c-a}{a(b+c)}+\frac{c+a-b}{b(c+a)}\geq\frac{9}{2}$        $(2)$

Áp dụng BĐT Cauchy, bất đẳng thức $(2)$ trở thành:

   $\frac{(a+b+c)^{2}}{c(a+b)(a+b-c)+a(b+c)(b+c-a)+b(c+a)(c+a-b)}\geq \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)^{2} \geq 9[c(a+b)(a+b-c)+a(b+c)(b+c-a)+b(c+a)(c+a-b)]$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)^{2} \geq 54abc$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^{2} \geq 27abc$

Bất đẳng thức trên dễ dàng chứng minh bằng A-G.

Vậy ta có điều phải chứng minh.