Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-1}{2abc}$
Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-1}{2abc}$
"... Xin thầy dạy cho cháu biết cách chấp nhận thất bại và cách tận hưởng niềm vui chiến thắng...."
-Tổng thống Mỹ Abraham Lincoln-
$P=\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-(aCho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-1}{2abc}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 01-01-2018 - 11:19
$a+b+c=1 \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9$
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ ta thấy cần chứng minh:
$\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-1}{2abc}\leq 9$
$\Leftrightarrow -\frac{4}{a+b}-\frac{4}{b+c}-\frac{4}{c+a}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-1}{2abc}\geq -9$
$\Leftrightarrow \frac{4}{c}-\frac{4}{a+b}+\frac{4}{a}-\frac{4}{b+c}+\frac{4}{b}-\frac{4}{c+a}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-1}{2abc}+27$
$\Leftrightarrow \frac{4(a+b-c)}{c(a+b)}+\frac{4(b+c-a)}{a(b+c)}+\frac{4(c+a-b)}{b(c+a)}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-1}{2abc}+27$ $(1)$
Mặt khác:
$27abc\leq \left ( a+b+c \right )^{3}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2abc}\geq \frac{27}{2}$
Và
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=\frac{1}{3}$
Suy ra
$(1)\Leftrightarrow$$\frac{4(a+b-c)}{c(a+b)}+\frac{4(b+c-a)}{a(b+c)}+\frac{4(c+a-b)}{b(c+a)}\geq 18$
$\Leftrightarrow$$\frac{a+b-c}{c(a+b)}+\frac{b+c-a}{a(b+c)}+\frac{c+a-b}{b(c+a)}\geq\frac{9}{2}$ $(2)$
Áp dụng BĐT Cauchy, bất đẳng thức $(2)$ trở thành:
$\frac{(a+b+c)^{2}}{c(a+b)(a+b-c)+a(b+c)(b+c-a)+b(c+a)(c+a-b)}\geq \frac{9}{2}$
$\Leftrightarrow 2(a+b+c)^{2} \geq 9[c(a+b)(a+b-c)+a(b+c)(b+c-a)+b(c+a)(c+a-b)]$
$\Leftrightarrow 2(a+b+c)^{2} \geq 54abc$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^{2} \geq 27abc$
Bất đẳng thức trên dễ dàng chứng minh bằng A-G.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh