MP cắt AD tại E, có N, Q, E thẳng hàng
áp dụng Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng M, P, E và tgiác ABD
$\frac{PD}{PB} .\frac{MB}{MA} .\frac{EA}{ED} =1$
$\Rightarrow\frac{ED}{EA} =\frac12$
áp dụng Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng B, P, D và tgiác AME
$\frac{PE}{PM} .\frac{BM}{BA} .\frac{DA}{DE} =1$
$\frac{PE}{PM} =2$
$\Rightarrow\frac{EP}{EM} =\frac23$
áp dụng Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng N, Q, E và tgiác ACD
$\frac{QC}{QD} .\frac{ED}{EA} .\frac{NA}{NC} =1$
$\Rightarrow\frac{QC}{QD} =1$
áp dụng Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng C, Q, D và tgiác ANE
$\frac{QE}{QN} .\frac{CN}{CA} .\frac{DA}{DE} =1$
$\Rightarrow\frac{QE}{QN} =3$
$\Rightarrow\frac{EQ}{EN} =\frac34$
$\frac{V_{EDPQ}}{V_{EAMN}} =\frac{ED}{EA} .\frac{EP}{EM} .\frac{EQ}{EN} =\frac12 .\frac23 .\frac34 =\frac14$
$\Rightarrow\frac{V_{MNQPDA}}{V_{EAMN}} =1 -\frac14 =\frac34$ (1)
$\frac{V_{AEMN}}{V_{ADBC}} =\frac{AE}{AD} .\frac{AM}{AB} .\frac{AN}{AC} =2 .\frac12 .\frac23 =\frac23$ (2)
từ (1, 2)$\Rightarrow\frac{V_{MNQPDA}}{V_{ABCD}} =\frac34 .\frac23 =\frac12$(đpcm)