Chủ đề này có 1 trả lời

[Amasa]

Tìm GTNN của biểu thức sau:

A=$\frac{(x+y+1)^{2}}{xy+y+x}+\frac{xy+y+x}{(x+y+1)^{2}}$ (Với x;y là các số thực dương)

[nmtuan2001]

Tìm GTNN của biểu thức sau:

A=$\frac{(x+y+1)^{2}}{xy+y+x}+\frac{xy+y+x}{(x+y+1)^{2}}$ (Với x;y là các số thực dương)

Ta có $(x+y+1)^2=(x+y)^2+2(x+y)+1=\frac{3(x+y)^2}{4}+\frac{(x+y)^2}{4}+1+2(x+y)$

$\geq 3xy+\frac{(x+y)^2}{4}+1+2(x+y) \geq 3xy+2\sqrt{\frac{(x+y)^2}{4}.1}+2(x+y)=3(xy+x+y)$

Suy ra $A=\frac{(x+y+1)^{2}}{9(xy+y+x)}+\frac{xy+y+x}{(x+y+1)^{2}}+\frac{8}{9}\frac{(x+y+1)^2}{xy+x+y} \geq 2\sqrt{\frac{(x+y+1)^{2}}{9(xy+y+x)}.\frac{xy+y+x}{(x+y+1)^{2}}}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 10-01-2018 - 22:06