Chủ đề này có 8 trả lời

[KaoriloveConan]

Giải phương trình chứa căn thức:

Hình gửi kèm

• 

[nmtuan2001]

Giải phương trình chứa căn thức:

$a)$ Đặt $\sqrt{x^2+1}=y$. PT trở thành:

$$y^2+3x=y(x+3)$$

$$(y-x)(y-3)=0$$

Dễ thấy $y>x$ nên $y=3$.

Suy ra $x=\pm 2\sqrt{2}$.

 

$b)$ Đặt $\sqrt{2x+1}=a, \sqrt{3x}=b$. PT trở thành:

$$a-b=b^2-a^2$$

$$(b-a)(a+b-1)=0$$

Nếu $a=b$ thì $2x+1=3x$, hay $x=-1$ (loại vì đkxđ)

Nếu $a+b=1$ thì $\sqrt{2x+1}=1-\sqrt{3x}$.

$$2x+1=1+3x-2\sqrt{3x}$$

$$2\sqrt{3x}=-x$$

Suy ra $x \leq 0$ mà $x \geq 0$ nên $x=0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 23-01-2018 - 18:11

[nmtuan2001]

Giải phương trình chứa căn thức:

$g)$ PT tương đương với:

$$\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3$$

Đặt $a=\sqrt{4x^2+5x+1}, b=2\sqrt{x^2-x+1}$ nên $a-b=a^2-b^2$.

Suy ra $(a-b)(a+b-1)=0$.

Nếu $a=b$ thì $9x-3=0$, hay $x=\frac{1}{3}$.

Nếu $a+b=1$ thì $\sqrt{4x^2+5x+1}=1-2\sqrt{x^2-x+1}$.

$$4x^2+5x+1=4(x^2-x+1)-4\sqrt{x^2-x+1}+1$$

$$9x-4=-4\sqrt{x^2-x+1}$$

$$81x^2-72x+16=16(x^2-x+1)$$

$$65x^2-88x=0$$

$$x(65x-88)=0$$

Suy ra $x=0$ và $x=\frac{88}{65}$. (loại cả 2 TH)

Vậy $x=\frac{1}{3}$.

[nmtuan2001]

Giải phương trình chứa căn thức:

$h)$ Đặt $\sqrt{3x-2}=y$. PT trở thành:

$$x^3+2y^3=3xy^2$$

$$x^3+2y^3-3xy^2=0$$

$$(x-y)(x^2+xy-2y^2)=0$$

$$(x-y)^2(x+2y)=0$$

Vì đkxđ là $x \geq \frac{2}{3}$ nên $x+2y>0$.

Do đó $x=y$, nên $x^2=3x-2$, hay $(x-1)(x-2)=0$.

Suy ra $x=1,2$.

[kekkei]

Giải phương trình chứa căn thức:

e/ ĐKXĐ: x=0 hoặc $x\geqslant 1$

 Dễ thấy x=0 thỏa mãn phương trình

Với $x\geqslant 1$:

$VP=\sqrt{x^2(x-1)}+\sqrt{x^2-x}\leqslant \frac{x^2+x-1}{2}+\frac{x^2-x+1}{2}=x^2$

 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

$$$\begin{cases} x^2-x+1=0\\ x^2-x-1=0 \end{cases} $$$

mà phương trình phía trên vô nghiệm nên trong trường hợp này, pt vô nghiệm

Vậy x=0

[nmtuan2001]

Giải phương trình chứa căn thức:

$d)$ ĐKXĐ: $0 \leq x \leq 1$.

Dễ thấy $x=0$ và $x=1$ không phải là nghiệm của PT. Do đó $3x,x,1-x>0$.

Áp dụng AM-GM: $VT=\sqrt{3x(x+1)}+\sqrt{x(1-x)} \leq \frac{3x+x+1}{2}+\frac{x+1-x}{2}=2x+1$.

Dấu $=$ xảy ra nên $3x=x+1$ và $x=1-x$.

Suy ra $x=\frac{1}{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 23-01-2018 - 21:43

[nmtuan2001]

Giải phương trình chứa căn thức:

$f)$ Đặt $\sqrt{1+16x}=2y-1$ thì PT trở thành $x^2-x-2(2y-1)=2$, hay $x^2-x-4y=0$.

Mà $1+16x=(2y-1)^2$, nên

$$1+16x=4y^2-4y+1$$

$$4y^2-4y-16x=0$$

$$y^2-y-4x=0$$

Do đó ta có hệ đối xứng $x^2-x-4y=0\ \ (1)$ và $y^2-y-4x=0\ \ (2)$.

Lấy $(1)-(2)$ được $x^2-y^2+3x-3y=0$

$$(x-y)(x+y+3)=0$$

Mà $x \geq -\frac{1}{16}, y \geq \frac{1}{2}$ nên $x+y+3>0$.

Suy ra $x=y$. Ta được $x^2-5x=0$ hay $x=5$ (loại $x=0$).

 

ps: còn 1 bài

[nmtuan2001]

Giải phương trình chứa căn thức:

Chém nốt câu cuối.

$c)$ ĐKXĐ: $-12 \leq x \leq 4$ và $28-x, x+3$ cùng dấu $\Rightarrow x \geq -3$.

Vậy $-3 \leq x \leq 4$.

Đặt $x+3=a,\sqrt{(4-x)(12+x)}=b$.

Suy ra $a^2=x^2+6x+9, b^2=-x^2-8x+48$. 

Ta được $28-x=\frac{a^2+b^2-1}{2}$.

PT trở thành $ab=\frac{a^2+b^2-1}{2}$, tương đương với $(a-b)^2=1$.

 

Nếu $a-b=1$ thì $\sqrt{(4-x)(12+x)}=x+2$.

$$-x^2-8x+48=x^2+4x+4$$

$$2x^2+12x-44=0$$

$$x^2+6x-22=0$$

Ta được $x=\sqrt{31}-3$ (loại $x=-\sqrt{31}-3<-3$)

 

Nếu $a-b=-1$ thì $\sqrt{(4-x)(12+x)}=x+4$.

$$-x^2-8x+48=x^2+8x+16$$

$$2x^2+16x-32=0$$

$$x^2+8x-16=0$$

Ta được $x=4(\sqrt{2}-1)$ (loại $x=-4(2\sqrt{2}+1)<-3$)

 

Vậy PT có nghiệm $x=\sqrt{31}-3$ và $x=4(\sqrt{2}-1)$

[KaoriloveConan]

Cảm ơn mọi người rất nhiều ạ