Chủ đề này có 3 trả lời

[TrucCumgarDaklak]

Tìm tất cả các bộ $(n, k, p)$ với $n$, $k$ là các số nguyên dương, $p$ là một số nguyên tố thỏa mãn phương trình $n^{5}+n^{4}+1=p^{k}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrucCumgarDaklak: 04-02-2018 - 20:53

[Khoa Linh]

Tìm tất cả các bộ $(n, k, p)$ với $n$, $k$ là các số nguyên dương, $p$ là một số nguyên tố thỏa mãn phương trình $n^{5}+n^{4}+n=p^{k}$

Từ GT suy ra p^k chia hết cho n mà p là số nguyên tố nên n=1 hoặc n=p

Với n=1 thì p=3, k=1

Với n=p ta có: 

$p^5+p^4+p=p^k \Leftrightarrow p^4+p^3+1=p^{k-1}$

ta thấy nếu k=1 thì p^4+p^3+1=1 (vô lý)
nếu k>1 thì VP chia hết cho p và vế trái không chia hết cho p => vô lý

Vậy (n,k,p)=(1,1,3)

[TrucCumgarDaklak]

Từ GT suy ra p^k chia hết cho n mà p là số nguyên tố nên n=1 hoặc n=p

Với n=1 thì p=3, k=1

Với n=p ta có: 

$p^5+p^4+p=p^k \Leftrightarrow p^4+p^3+1=p^{k-1}$

ta thấy nếu k=1 thì p^4+p^3+1=1 (vô lý)
nếu k>1 thì VP chia hết cho p và vế trái không chia hết cho p => vô lý

Vậy (n,k,p)=(1,1,3)

xin lỗi, mình ghi nhầm đề

[minhbeo12]

Ta có n⁵ + n⁴ + 1 = (n² + n + 1)(n³ - n + 1) = p^k

Gọi (n² + n + 1, n³ - n + 1) = d

Ta có d/(n² + n + 1) => d/(n³ - 1)

Lại có d/ (n³ - n + 1) => d/(n - 2).   n² + n + 1 = n² - 4+ n - 2 + 7 => d/7. Do đó d = 1 hoặc 7

 

TH1: d = 7 => n = 7t + 2.  Đặt n² + n + 1 = 7^a

                                                n³ - n + 1 = 7^b

Thay vào ta được 7t² + 5t + 1 = 7^a-1  => 7/(t - 4)

                             49t³ + 42t² + 11t + 1 = 7^b-1 => 7/(t - 5)    (MT)

Do đó a hoặc  b phải bằng 1 

 

TH2: d = 1 thì đơn giản rồi