Cho tam giác $ABC$. Dựng bên ngoài tam giác $ABC$ các tam giác đều $BCM$, $CAN$, $ABP$. Chứng minh $AM$, $BN$, $CP$ đồng quy.
#2
Đã gửi 02-03-2018 - 09:23
vkhoa
-
- Điều hành viên THPT
-
- 933 Bài viết
Trung úy
Cho tam giác $ABC$. Dựng bên ngoài tam giác $ABC$ các tam giác đều $BCM$, $CAN$, $ABP$. Chứng minh $AM$, $BN$, $CP$ đồng quy.
Gọi $D$ là giao điểm của $BN$ và $CP$
ta có $\widehat{CAN} =60^\circ =\widehat{PAB}$
$\Leftrightarrow\widehat{BAC} +\widehat{CAN} =\widehat{PAB} +\widehat{BAC}$
$\Leftrightarrow\widehat{BAN} =\widehat{PAC}$
$\Rightarrow\triangle BAN =\triangle PAC$ (c, g, c)
$\Rightarrow\widehat{AND} =\widehat{ACD}$ (1) và $\widehat{APD} =\widehat{ABD}$ (2)
(1)$\Rightarrow ADCN$ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{ADC} =180^\circ -\widehat{ANC} =120^\circ$
tương tự, $\widehat{ADB} =120^\circ$
có $\widehat{BDC} =360^\circ -\widehat{ADB} -\widehat{ADC} =120^\circ$
$\Rightarrow\widehat{BDC} +\widehat{BMC} =180^\circ$
$\Rightarrow BDCM$ nội tiếp
$\Rightarrow\widehat{BMD} =\widehat{BCP}$ (3)
mặt khác $\triangle BPC =\triangle BAM$ (c, g, c) (tương tự cm trên)
$\Rightarrow\widehat{BCP} =\widehat{BMA}$ (4)
từ (3, 4)$\Rightarrow \widehat{BMD} =\widehat{BMA}$
$\Rightarrow A, D, M$ thẳng hàng (đpcm)
Hình gửi kèm
- melodias2002 yêu thích
(Cách chứng minh một bài toán dựng hình là không thể dựng được bằng thước và compa?????)
(Giúp với Tính $\int_m^n\left(\sqrt{ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e}\right) dx$)
(Tam giác ABC cân tại A, lấy D trên cạnh BC, r1,r2 là bán kính nội tiếp ABD, ACD. Xác định vị trí D để tích r1.r2 lớn nhất )
(Nhấn nút "Thích" thay cho lời cám ơn, nút Thích nằm cuối mỗi bài viết, đăng nhập để nhìn thấy nút Thích)
(Giúp với Tính $\int_m^n\left(\sqrt{ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e}\right) dx$)
(Tam giác ABC cân tại A, lấy D trên cạnh BC, r1,r2 là bán kính nội tiếp ABD, ACD. Xác định vị trí D để tích r1.r2 lớn nhất )
(Nhấn nút "Thích" thay cho lời cám ơn, nút Thích nằm cuối mỗi bài viết, đăng nhập để nhìn thấy nút Thích)
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
