Chủ đề này có 1 trả lời

[melodias2002]

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $abc=1$. CMR:

$(a+b)(b+c)(c+a)\geq4(a+b+c-abc)$

[nmtuan2001]

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $abc=1$. CMR:

$(a+b)(b+c)(c+a)\geq4(a+b+c-abc)$

BĐT tương đương với $(a+b+c)(ab+bc+ca)+3 \geq 4(a+b+c)$.

Mà $(ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c)$ nên $ab+bc+ca \geq \sqrt{3(a+b+c)}$.

Đặt $\sqrt{a+b+c}=x$. Cần chứng minh:

$$x^3\sqrt{3}+3 \geq 4x^2$$

$$(x-\sqrt{3})(x^2\sqrt{3}-x-\sqrt{3}) \geq 0$$

BĐT đúng vì $x \geq \sqrt{3}$ và $x^2\sqrt{3}-x-\sqrt{3} \geq 3x-x-\sqrt{3}=2x-\sqrt{3}>0$.

 

Ps: Post 300

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 17-02-2018 - 10:02