Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DinhXuanHung CQB: 19-02-2018 - 14:34
$latex \displaystyle \left( \frac{{{U}_{1}}+{{U}_{2}}+...+{{U}_{n}}}{n} \right)$
#1
Đã gửi 19-02-2018 - 14:28
- hungnolan và Nguyen Van Thao thích
Little Homie
#2
Đã gửi 19-02-2018 - 17:38
Cho dãy số xác định bởi$u_{1}=2014$ và$u_{n+1}=\frac{3n+2}{4n+2}(u_{n}+1)\,,\forall n\ge 1.$Tính $ \displaystyle \lim \frac{\sum_{k=1}^n u_k}{n}.$
Ngoài việc dùng các định lý Weirstrass kết hợp bổ đề Cesaro, ta có thể tiếp cận theo hướng bổ đề giới hạn cùng bổ đề Cesaro.
Ta có $$u_{n+1}-3= \frac{3n+2}{4n+2}\left( u_n-3\right)+\frac{1}{2n+1}, n\in \mathbb{N}.$$
Do đó, $$\left| u_{n+1}-3\right|\le \frac{3n+2}{4n+2}\left| u_{n}-3\right|+\frac{1}{2n+1} \le \frac{5}{6}\left| u_{n}-3\right|+\frac{1}{2n+1}, n\in \mathbb{N}.$$
Áp dụng bổ đề giới hạn, ta có $\lim \left| u_{n}-3\right|=0.$ Do đó, $\lim u_n=3$.
Vì thế theo bổ đề Cesaro, $\displaystyle\lim \frac{\sum_{k=1}^n u_k}{n}=3.$
https://diendantoanh...ãy-số-giới-hạn/
Cho số thực $q\in (0, 1).$ Xét hai dãy không âm $(a_{n}), (b_{n})$ thỏa mãn $a_{n+1}\leq qa_{n}+b_{n}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$ và $\lim_{n\rightarrow +\infty }b_{n}=0.$ Chứng minh rằng $\lim_{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0.$
Xin lỗi "Newton" vì gọi em vào ! Bài toán nằm trong chiến dịch quảng bá "bổ đề giới hạn".
....
@Duy Thái: Em trình bày lời giải theo hướng tiếp cận thứ nhất xem có vấn đề gì phát sinh không? Cảm ơn em!
- Zz Isaac Newton Zz, Duy Thai2002, DinhXuanHung CQB và 1 người khác yêu thích
Đời người là một hành trình...
#3
Đã gửi 19-02-2018 - 19:52
Do đó, $$\left| u_{n+1}-3\right|\le \frac{3n+2}{4n+2}\left| u_{n}-3\right|+\frac{1}{2n+1} \le \frac{5}{6}\left| u_{n}-3\right|+\frac{1}{2n+1}, n\in \mathbb{N}.$$
P/s: Em hơi không hiểu chỗ $5/6$ ạ mong anh chỉ giải giúp em
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DinhXuanHung CQB: 19-02-2018 - 19:54
- hungnolan và Nguyen Van Thao thích
Little Homie
#4
Đã gửi 19-02-2018 - 20:04
P/s: Em hơi không hiểu chỗ $5/6$ ạ mong anh chỉ giải giúp em
Thực chất anh An infinitesimal thấy rằng $\frac{3n+2}{4n+2}\leq \frac{5}{6}$ với $n\geq 1$ nên có bđt sau. Với lại số $\frac{5}{6}$$\in (0;1)$ nên nó thỏa điều kiện bổ đề.
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
#5
Đã gửi 19-02-2018 - 21:06
Cho dãy số xác định bởi${{U}_{1}}=2014 \\$ và${{U}_{n+1}}=\frac{3n+2}{4n+2}({{U}_{n}}+1)\,,\forall n\in {{N}^{*}} \\$Tính $ \displaystyle \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{U}_{1}}+{{U}_{2}}+...+{{U}_{n}}}{n} \right)$
Đúng như anh An infinitesimal em giải bài này theo định lý weirstrass cùng với bổ đề Cesaro nhưng mà để ý một chút ta có thể giải bài trên theo nguyên lí ánh xạ co kết hợp với bổ đề Cesaro .
Ta xét hàm: $f(x)=\frac{3n+2}{4n+2}x+\frac{3n+2}{4n+2}$
$\Rightarrow f'(x)=\frac{3n+2}{4n+2}=q<1, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$
Áp dụng định lý Lagrange cho $x,y \in \mathbb{R}, x>y$, $f(x)$ liên tục nên tồn tại $z\in \mathbb{R}$ sao cho:
$f(x)-f(y)=f'(z)(x-y)$
$\left | f(x)-f(y) \right |\leq q\left | x-y \right |$ nên hàm số $f(x)=\frac{3n+2}{4n+2}$ là hàm số co do đó dãy số $(u_{n})$ hội tụ.
Ta đi chứng minh $lim\frac{3n+2}{4n+2}=\frac{3}{4}$ bằng cách sử dụng định nghĩa giới hạn . Ta có:
$\forall \epsilon >0$ xét bất phương trình $\left | \frac{3n+2}{4n+2}-\frac{3}{4} \right |< \epsilon$(*)
$<=> n>\frac{3}{8\epsilon }-\frac{1}{2}$
Vậy nếu chọn $n_{0}=\left \lfloor \frac{3}{8\epsilon } -\frac{1}{2}\right \rfloor+1$ thì với mọi $n>n_{0}$ thì (*) luôn đúng, theo định nghĩa giới hạn ta được: $lim\frac{3n+2}{4n+2}=\frac{3}{4}$
Gọi $limu_{n}=a$
Chuyển qua giới hạn, ta được:
$a=\frac{3}{4}(a+1)$ $=> a=3$ $=> limu_{n}=3$. Kết hợp với định lý Cesaro suy ra được:
$lim(\frac{u_{1}+u_{2}+...+u_{n}}{n})=3$
P/s; Do em mới nghiên cứu về hàm số co nên không biết cách làm có sai gì không? Mong anh chỉ giáo.
- DinhXuanHung CQB và hungnolan thích
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
#6
Đã gửi 20-02-2018 - 21:01
Đúng như anh An infinitesimal em giải bài này theo định lý weirstrass cùng với bổ đề Cesaro nhưng mà để ý một chút ta có thể giải bài trên theo nguyên lí ánh xạ co kết hợp với bổ đề Cesaro .
Ta xét hàm: $f(x)=\frac{3n+2}{4n+2}x+\frac{3n+2}{4n+2}$
$\Rightarrow f'(x)=\frac{3n+2}{4n+2}=q<1, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$
Áp dụng định lý Lagrange cho $x,y \in \mathbb{R}, x>y$, $f(x)$ liên tục nên tồn tại $z\in \mathbb{R}$ sao cho:
$f(x)-f(y)=f'(z)(x-y)$
$\left | f(x)-f(y) \right |\leq q\left | x-y \right |$ nên hàm số $f(x)=\frac{3n+2}{4n+2}$ là hàm số co do đó dãy số $(u_{n})$ hội tụ.
Đoạn này rối beng nè! Anh sẽ xem xét kỹ hơn sau!
(Dường như em quên đi sự thay đổi của n?)
Đời người là một hành trình...
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dayso
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
cho dãy số thỏa u1=672Bắt đầu bởi Bias Chanyeol Exo, 08-06-2018 dayso, gioihan |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Dãy số - Giới hạn →
$\displaystyle {{S}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{u}_{1}}}{{{u}_{i+1}}-1}}$Bắt đầu bởi DinhXuanHung CQB, 20-02-2018 dayso |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Dãy số - Giới hạn →
Tìm giới hạn của dãy số "lạ"Bắt đầu bởi T3bol, 28-03-2017 dayso, gioihan |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Tìm $h\in N^*$ nhỏ nhất sao cho $a_{n+h}\equiv a_n(1998)$Bắt đầu bởi TanSan26, 08-06-2016 dayso |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Dãy số - Giới hạn →
Cho dãy (x_{n}) biết x_{1}=2 và x_{n+1}=\frac{1}{16}(4x_{n}+1+4\sqrt{4x_{n}+1}) (1\leq n\in \mathbb{N}) Tính Limx_{n+1}Bắt đầu bởi chidungdijiyeon, 29-05-2016 dayso |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh