cho dạy số u(n) thỏa mạn $\left\{\begin{matrix} u_{1}=u_{2}=1\\ u_{n}=\frac{u_{n-1}^{2}+2}{u_{n-2}} \end{matrix}\right.$ ; (n=3,4,5...)
chứng minh rằng mọi số hạng của dạy đều là số nguyên.
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=u_{2}=1\\ u_{n}=\frac{u_{n-1}^{2}+2}{u_{n-2}} \end{matrix}\right.$
Bắt đầu bởi huyqhx9, 26-02-2018 - 22:45
#2
Đã gửi 26-02-2018 - 23:36
ThuThao36
-
- Thành viên
-
- 220 Bài viết
Thượng sĩ
cho dạy số u(n) thỏa mạn $\left\{\begin{matrix} u_{1}=u_{2}=1\\ u_{n}=\frac{u_{n-1}^{2}+2}{u_{n-2}} \end{matrix}\right.$ ; (n=3,4,5...)
chứng minh rằng mọi số hạng của dạy đều là số nguyên.
$u_{3}=3$
Từ hệ thức truy hồi: $\left\{\begin{matrix} u_{n-1}^{2}+2=u_{n}u_{n-2}\\ u_{n}^{2}+2=u_{n+1}u_{n-1} \end{matrix}\right.$
Trừ vế cho vế: $u_{n}^{2}-u_{n-1}^{2}=u_{n+1}u_{n-1}-u_{n}u_{n-2}$
$\Rightarrow u_{n}(u_{n}+u_{n-2})=u_{n-1}(u_{n-1}+u_{n+1})$
$\Rightarrow \frac{u_{n}}{u_{n+1}+u_{n-1}}=\frac{u_{n-1}}{u_{n}+u_{n-2}}=...=\frac{u_{2}}{u_{1}+u_{3}}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow u_{n+1}=4u_{n}-u_{n-1}$
Vì $u_{1},u_{2},u_{3}$ nguyên nên mọi số hạng trong dãy đều nguyên (đpcm)
- huyqhx9 yêu thích
"... Xin thầy dạy cho cháu biết cách chấp nhận thất bại và cách tận hưởng niềm vui chiến thắng...." 
-Tổng thống Mỹ Abraham Lincoln-
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
