Chủ đề này có 1 trả lời

[melodias2002]

Cho $a,b,c >0$. CMR: $\sum \sqrt {\frac {bc}{a^2+3ab}} \geq \frac {3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi melodias2002: 04-03-2018 - 13:39

[nmtuan2001]

Cho $a,b,c >0$. CMR: $\sum \sqrt {\frac {bc}{a^2+3ab}} \geq \frac {3}{2}$

Holder: $VT^2[\sum b^2c^2(a^2+3ab)] \geq (ab+bc+ca)^3$ nên ta chỉ cần chứng minh 

$$9\sum b^2c^2(a^2+3ab) \leq 4(ab+bc+ca)^3$$

$$27(a^2b^2c^2+ab^3c^2+a^2bc^3+a^3b^2c) \leq 4(ab+bc+ca)^3$$

Đặt $ab=x, bc=y, ca=z$, BĐT trên trở thành $27(xyz+x^2y+y^2z+z^2x) \leq 4(x+y+z)^3$.

Không mất tính tổng quát, giả sử $y$ nằm giữa $x$ và $z$ thì $(y-x)(y-z) \leq 0$, hay $y^2+zx \leq xy+yz$.

Suy ra $y^2z+z^2x \leq xyz+yz^2$, nên

$$27(xyz+x^2y+y^2z+z^2x) \leq 27(2xyz+x^2y+yz^2)=27y(z+x)^2$$

$$=\frac{1}{2}.27.2y.(z+x)(z+x) \leq \frac{1}{2}(2y+z+x+z+x)^3=4(x+y+z)^3$$