Chủ đề này có 1 trả lời

[Khoa Linh]

Cho các số thực a, b, c khác nhau đôi một. Chứng minh rằng: 

 

$\left ( \frac{a}{a-b} \right )^2+\left ( \frac{b}{b-c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c-a} \right )^2\geq 1$ 

[nmtuan2001]

Cho các số thực a, b, c khác nhau đôi một. Chứng minh rằng: 

 

$\left ( \frac{a}{a-b} \right )^2+\left ( \frac{b}{b-c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c-a} \right )^2\geq 1$ 

Đặt $\frac{a+b}{a-b}=x, \frac{b+c}{b-c}=y, \frac{c+a}{c-a}=z$ thì $(x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)$, hay $xy+yz+zx=-1$.

BĐT trở thành $\sum \left( \frac{x+1}{2} \right)^2 \geq 1$, hay $\sum (x+1)^2 \geq 4$.

$$x^2+y^2+z^2+2(x+y+z) \geq 1$$

$$(x+y+z)^2+2(xy+yz+zx) \geq 1+2(xy+yz+zx)=-1$$

$$(x+y+z+1)^2 \geq 0$$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x+y+z=xy+yz+zx=-1$.