11 replies to this topic

[namkeotn]

cmr: $(\frac{a}{b})^{2}+(\frac{b}{c})^{2}+(\frac{c}{a})^{2}$ >= $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Edited by namkeotn, 14-03-2018 - 10:43.

[doraemon123]

Ta có: $(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2})-(\frac{a}{b}+\frac{b}{c})=(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2})-2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c})+(\frac{a}{b}+\frac{b}{c})$$\geq (\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2})-2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c})+2 =(\frac{a}{b}-1)^2+(\frac{b}{c}-1)^2\geq 0$

$\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}$

CMTT: $\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq \frac{b}{c}+\frac{c}{a}; \frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{c}{a}$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Cộng vế theo vế ta được đpcm

Edited by doraemon123, 14-03-2018 - 12:19.

[namkeotn]

Ta có: $(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2})-(\frac{a}{b}+\frac{b}{c})=(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2})-2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c})+(\frac{a}{b}+\frac{b}{c})$$\geq (\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2})-2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c})+2 =(\frac{a}{b}-1)^2+(\frac{b}{c}-1)^2\geq 0$

$\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}$

CMTT: $\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq \frac{b}{c}+\frac{c}{a}; \frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{c}{a}$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Cộng vế theo vế ta được đpcm

 

Mình thấy không ổn lắm,sao tự nhiên lại có đoạn  a/b+b/c >=2 dựa vào đâu vậy bạn .

Edited by namkeotn, 14-03-2018 - 14:37.

[doraemon123]

Mình thấy không ổn lắm,sao tự nhiên lại có đoạn  a/b+b/c >=2 dựa vào đâu vậy bạn .

 Mình đã nhầm đề rồi, xin lỗi bạn nhé

[namkeotn]

Bài này dùng cosy mà mình chả biết áp dụng thế nào nữa.

[doraemon123]

cmr: $(\frac{a}{b})^{2}+(\frac{b}{c})^{2}+(\frac{c}{a})^{2}$ >= $\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$ nếu chứng minh như trên thì mình biết...

[DOTOANNANG]

[attachment=33568:CodeCogsEqn (3).gif]

[namkeotn]

CodeCogsEqn (3).gif

 

Đẳng thức >=0 phải có a>=b>=c>0 mới được. Như vậy đề bài phải cho a>=b>=c>=0

[DOTOANNANG]

Dễ thấy bất đẳng thức nếu có nghiệm $a, b, c$ thì $-a, -b, -c$ cũng là nghiệm của bất đẳng thức nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử cả ba số đều dương. BĐT mình đã khai triển vẫn lớn hơn bằng không  kể cả với 3 số âm.

[nmtuan2001]

CodeCogsEqn (3).gif

BĐT hoán vị nhưng ko đối xứng nên ko thể giả sử $a \geq b \geq c$ được.

Giả sử $c=min(a,b,c)$ là được.

 

Ngoài ra, có cách khác sau:

TH1: Cả 3 số cùng âm hoặc cùng dương (2 TH này tương đương vì nếu $a,b,c<0$ chỉ cần thay $a,b,c$ thành $-a,-b,-c$ và BĐT ko đổi)

Đặt $\frac{a}{b}=x, \frac{b}{c}=y, \frac{c}{a}=z$ thì BĐT trở thành $x^2+y^2+z^2 \geq x+y+z$ với $xyz=1$.

Ta có $x^2+y^2+z^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3} \geq x+y+z$ vì $x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$.

 

TH2: 2 số dương, 1 số âm: Giả sử $a,b>0$ và $c<0$

Đặt $a=x, b=y, -c=z$ thì $x,y,z>0$ và BĐT trở thành $(\frac{x}{y})^2+(\frac{y}{z})^2+(\frac{z}{x})^2 \geq \frac{x}{y}-\frac{y}{z}-\frac{z}{x}$.

Từ TH1 suy ra $VT \geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}>VP$

TH3: 1 số dương, 2 số âm. Giải tương tự TH2.

Edited by nmtuan2001, 15-03-2018 - 10:21.

[DOTOANNANG]

Cảm ơn nmtuan2001, đây là BĐT chặt hơn cho bài trên:

$$\frac{a^{2}}{b^{2}}+ \frac{b^{2}}{c^{2}}+ \frac{c^{2}}{a^{2}}\geq \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}+ \frac{\max\left \{ \left ( \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} \right )^{2}, 8\left ( 1- \frac{ab+ bc+ ca}{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}} \right ) \right \}}{3}$$

[dai101001000]

$\frac{a}{b}.\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}.\frac{b}{c}+ \frac{c}{a}.\frac{c}{a}\geq \frac{b}{c}.\frac{c}{a}+ \frac{c}{a}.\frac{a}{b}+\frac{a}{b}.\frac{b}{c}$